Законы алгебры логики

Сформулируем несколько законов, отражающих основные соотношения алгебры логики.

1. Свойства операций отрицания, конъюнкции и дизъюнкции

X0 = 0X0=X

X1 =XX1 = 1

Переменные могут обозначать произвольные выражения.

2. Закон идемпотентности

XX=XXX=X

устанавливает, что повторяющиеся переменные в выражении излишни и их можно опустить. Таким образом, понятия возведение в степень и умножение на коэффициенты, отличные от логического 0 и логической 1 (то есть числа), не имеют смысла.

3. Закон двойного отрицания

устанавливает, что дважды выполненное отрицание эквивалентно пустой операции.

4. Закон коммутативности

XY=YX XY=YX

устанавливает, что порядок переменных при выполнении операций не влияет на результат этой операции.

5. Закон де Моргана

описывает эффект отрицания переменных, связанных операциями И и ИЛИ.

6. Закон ассоциативности:

(XY)Z=X(YZ) = (XZ)Y=XYZ

(XY)Z = X(YZ) = (XZ)Y = XYZ

переменные можно группировать в любом порядке, как для операции конъюнкции, так и для операции дизъюнкции.

7. Закон дистрибутивности

X(YZ) =XYXZ

устанавливает, что в алгебре логики допускается вынесение общего множителя за скобки.

8.Следует отметить свойство симметрии, присущее законам алгебры логики. Все законы представлены парой соотношений. В каждой паре одно соотношение получается из другого заменой всех операций конъюнкции на операции дизъюнкции, и наоборот, а также всех вхождений логического 0 на логические 1 и всех вхождений логической 1, на логические 0. Это свойство симметрии известно как принцип двойственности.

Многие законы можно обобщить на случай большого числа переменных. Например, закон де Моргана в обобщенной форме можно записать так:

.

Все перечисленные законы можно легко доказать методом полной индукции, то есть перебором всех возможностей. Это означает, что справедливость закона устанавливается подстановкой в левую и правую части всех возможных комбинаций значений переменных и проверкой выполнения равенства для каждой комбинации. Поскольку переменные в алгебре логики принимают только два значения, такая процедура оказывается вполне допустимой.

Лекция 4. Моделирование как метод познания. Классификация и формы представления моделей

Моделирование как метод познания

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания. Термин «модель» широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений.

Модель – объект или описание объекта, системы для замещения (при определенных условиях предложениях, гипотезах) одной системы (т.е. оригинала) другой системы для изучения оригинала или воспроизведения его каких-либо свойств. Модель – результат отображения одной структуры на другую.

Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез. Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.

Возможности моделирования, то есть перенос результатов, полученных в ходе построения и исследования модели, на оригинал основаны на том, что модель в определенном смысле отображает (воспроизводит, моделирует, описывает, имитирует) некоторые интересующие исследователя черты объекта. Моделирование как форма отражения действительности широко распространено, и достаточно полная классификация возможных видов моделирования крайне затруднительна, хотя бы в силу многозначности понятия «модель», широко используемого не только в науке и технике, но и в искусстве, и в повседневной жизни.

Классификация и формы представления моделей

Модель – общенаучное понятие, означающее как идеальный, так и физический объект анализа. Важным классом идеальных моделей является математическая модель – в ней изучаемое явление или процесс представлены в виде абстрактных объектов или наиболее общих математических закономерностей, выражающих либо законы природы, либо внутренние свойства самих математических объектов, либо правила логических рассуждений.

Границы между моделями различных типов или классов, а также отнесение модели к какому-то типу или классу чаще всего условны. Рассмотрим наиболее распространенные признаки, по которым классифицируются модели:

1. цель использования;

2. область знаний;

3. фактор времени;

4. способ представления.

По целям использования выделяются модели учебные, опытные, имитационные, игровые, научно-технические.

По области знаний выделяются модели биологические, экономические, исторические, социологические и т.д.

Применительно к естественным и техническим наукам принято различать следующие виды моделирования:

1. концептуальное моделирование, при котором совокупность уже известных фактов или представлений относительно исследуемого объекта или системы истолковывается с помощью некоторых специальных знаков, символов, операций над ними или с помощью естественного или искусственного языков;

2. физическое моделирование, при котором модель и моделируемый объект представляют собой реальные объекты или процессы единой или различной физической природы, причем между процессами в объекте-оригинале и в модели выполняются некоторые соотношения подобия, вытекающие из схожести физических явлений;

3. структурно-функциональное моделирование, при котором моделями являются схемы (блок-схемы), графики, чертежи, диаграммы, таблицы, рисунки, дополненные специальными правилами их объединения и преобразования;

4. математическое (логико-математическое) моделирование, при котором моделирование, включая построение модели, осуществляется средствами математики и логики;

5. имитационное (программное) моделирование, при котором логико-математическая модель исследуемого объекта представляет собой алгоритм функционирования объекта, реализованный в виде программного комплекса для компьютера.

Разумеется, перечисленные выше виды моделирования не являются взаимоисключающими и могут применяться при исследовании сложных объектов либо одновременно, либо в некоторой комбинации. Кроме того, в некотором смысле концептуальное и, скажем, структурно-функциональное моделирование неразличимы между собой, так как те же блок-схемы, конечно же, являются специальными знаками с установленными операциями над ними.

По фактору времени разделяются модели динамические и статические. Статическая модель отражает строение и параметры объекта, поэтому ее называют также структурной. Она описывает объект в определенный момент времени, дает срез информации о нем. Динамическая модель отражает процесс функционирования объекта или изменения и развития процесса во времени.

Любая модель имеет конкретный вид, форму или способ представления, она всегда из чего-то и как-то сделана или представлена и описана. В этом классе, прежде всего, модели рассматриваются как материальные и нематериальные.

Материальные модели – это материальные копии объектов моделирования.

Они всегда имеют реальное воплощение, воспроизводят внешние свойства или внутреннее строение, либо действия объекта-оригинала. Примеры: глобус – модель формы земного шара, кукла – модель внешнего вида человека, робот – модель действий человека на вредном производстве. Материальное моделирование использует экспериментальный (опытный) метод познания.

Нематериальное моделирование использует теоретический метод познания. По-другому его называют, абстрактным, идеальным. Абстрактные модели, в свою очередь, делятся на воображаемые и информационные.

Пакет Matlab (MATrix LABoratory) разрабатывался как диалоговая среда для матричных вычислений. Операционная среда позволяет формулировать проблемы и получать решения в привычной математической форме, не прибегая к рутинному программированию. Пакет оснащен хорошей графической системой и усилен различными пакетами расширений (Toolboxes) для эффективной работы со специальными классами задач. Особое место среди расширений занимает SIMULINK – пакет для моделирования и анализа динамических систем. SIMULINK позволяет эффективно изучать различные системы (технические, физические и др.), рассматривать нелинейные задачи с непрерывным и дискретным временем. Чтобы упростить подготовку модели, применяются функциональные блоки. После сборки схемы из готовых или созданных пользователем блок-схем можно проводить симуляцию и наблюдать отчеты в графическом и цифровом виде.

Система Maple воплощает современные технологии, такие как символьные вычисления, бесконечная точность чисел, подключаемость к Интернету и мощный язык для решения широкого спектра математических задач, возникающих в моделировании и имитации. Благодаря представлению формул в полиграфическом формате, великолепной двух- и трехмерной графике и анимации Maple является одновременно мощным научным графическим редактором. Maple позволяет выполнять как численные, так и аналитические расчеты в интерактивном режиме, с возможностью редактирования как текста, так и команд на рабочем листе (worksheet). Мощным инструментом стал Maplets – уникальный дополнительный пакет для Maple, появившийся в последнее время и дающий возможность пользователям создавать и настраивать собственный графический интерфейс. Maplets может быть использован для создания специализированных калькуляторов, интерфейсов к пакетам, написанным в среде Maple, создания запросов и сообщений. С помощью Maplets пользователи могут оформить приложение к Maple окнами прокрутки, кнопками, текстовыми окнами, нисходящими меню и другими элементами графического пользовательского интерфейса. Рабочие документы Maple могут быть представлены в формате электронного документа HTML и в других компьютерных форматах.

Mathcad является наиболее широко используемым программным обеспечением прикладной математики и поддерживает среду технических вычислений, оптимизированную по технической эффективности и новациям. Mathcad включает множество операторов, встроенных функций и алгоритмов решения разнообразных математических задач. Программа обладает повышенной точностью и быстродействием вычислений. Вывод формул в естественном виде, интерактивный режим работы, рациональная организация рабочего пространства (запросы, графики, данные отображаются на одном рабочем листе), поддержка символьной математики.

Mathematica – система, основанная на технологии интерактивного документа (notebook). При использовании этой технологии все вводимые и получаемые данные, в том числе графические, отображаются в одном документе и при изменении какого-либо параметра в начале документа элементы документа, зависящие от этого параметра, тут же изменяются. Набор математических функций в этом инструменте один из самых обширных и эффективных среди рассматриваемых программ. Mathematica поддерживает различные форматы отчетов, среди которых HTML, TeX, RTF и др. Существенно расширяют возможности программы Mathematica пакеты расширений: Signals and Systems, Electrical Engineering Examples. С использованием этих расширений можно достаточно эффективно решать задачи, содержащие линейные преобразования, стандартные представления сигналов, визуализацию.

Model Vision Studium (MVS) – это компьютерная лаборатория для моделирования и исследования сложных динамических систем, интегрированная графическая оболочка для быстрого создания интерактивных визуальных моделей сложных динамических систем и проведения вычислительных экспериментов с ними.

Пакет MVS позволяет описать модель на специальном графическом языке, а затем автоматически построить программу для воспроизведения ее поведения, использующую для этого современные численные методы. Пакет предназначен для исследования гибридных, обладающих одновременно «непрерывными» и «дискретными» свойствами систем.

В настоящее время известны и широко используются в научных исследованиях и инженерной практике различные типы моделей и многочисленные методы моделирования. Если взять за основу степень абстрактности (степень отличия от реального объекта), то можно определить следующие типы моделей:

• физические (натурные) модели (воспроизводят изучаемый процесс с сохранением его физической природы и являются инструментом физического моделирования);

• аналоговые модели (заменяют один объект на другой с похожими свойствами);

• математические модели (абстрактные модели, существуют в форме специальных математических конструкций и имеют смысл только для интерпретирующего их человека или машины).

Под математическим моделированием понимают способ исследования различных процессов путем изучения явлений, имеющих различное физическое содержание, но описываемых одинаковыми математическими соотношениями.

Несмотря на то, что современные универсальные пакеты визуального моделирования обладают рядом общих свойств (позволяют строить из блоков иерархические функциональные схемы, предоставляют пользователю схожие библиотеки численных методов, средства визуализации поведения и наборы анимационных возможностей, поддерживают технологию объектно-ориентированного моделирования), все же можно их разделить на три основные группы (рис. Языки моделирования):

• пакеты, использующие язык блочного моделирования;

• пакеты, использующие язык физического моделирования;

• пакеты, ориентированные на использование схемы гибридного автомата.

Пакеты, принадлежащие к первой группе, используют графический язык иерархических блок-схем. Блок высшего уровня иерархии собирается из некоторого набора стандартных блоков (созданных ранее разработчиками пакета, либо написанных самим пользователем), соединяемых однонаправленными функциональными связями. Собранную функциональную схему можно использовать как блок на следующем уровне иерархии и можно запомнить в библиотеке блоков. В число стандартных блоков входят блоки с чисто непрерывным, чисто дискретным и гибридным поведением.

Информационная модель– это совокупность информации об объекте, описывающая свойства и состояние объекта, процесса или явления, а также связи и отношения с окружающим миром.

Информационные модели представляют объекты в виде, словесных описаний, текстов, рисунков, таблиц, схем, чертежей, формул и т.д. У информационной модели нет материального воплощения, она строится только на информации. Ее можно выразить на языке описания (знаковая модель) или языке представления (наглядная модель).

Рассмотрим подробнее класс информационных моделей с позиции способов представления информации. Форма представления информационной модели зависит от способа кодирования (алфавита) и материального носителя.

Воображаемое (мысленное или интуитивное)моделирование– это мысленное представление об объекте. Такие модели формируются в воображении человека и сопутствуют его сознательной деятельности. Они всегда предшествуют созданию материального объекта, материальной и информационной модели, являясь одним из этапов творческого процесса. Например, музыкальная тема в мозгу композитора – интуитивная модель музыкального произведения.

Вербальное моделирование(относится к знаковым) – это представление информационной модели средствами естественного разговорного языка (фонемами). Мысленная модель, выраженная в разговорной форме, называется вербальной (от латинского слова verbalize – устный). Форма представления такой модели – устное или письменное сообщение. Примерами являются литературные произведения, информация в учебных пособиях и словарях, инструкции пользования устройством, правила дорожного движения.

Наглядное(выражено на языке представления)моделирование– это выражение свойств оригинала с помощью образов. Например, рисунки, художественные полотна, фотографии, кинофильмы. При научном моделировании понятия часто кодируются рисунками –иконическое моделирование. Сюда же относятсягеометрические модели– информационные модели, представленные средствами графики.

Образно-знаковое моделированиеиспользует знаковые образы какого-либо вида: схемы, графы, чертежи, графики, планы, карты (см. рис. Образно-знаковые модели). Например, географическая карта, план квартиры, родословное дерево, блок-схема алгоритма. К этой группе относятся структурные информационные модели, создаваемые для наглядного изображения составных частей и связей объектов. Наиболее простые и распространенные информационные структуры – это таблицы, схемы, графы, блок-схемы, деревья.

Знаковое(символическое выражено на языке описания)моделирование(рис. Знаковые модели) использует алфавиты формальных языков: условные знаки, специальные символы, буквы, цифры и предусматривает совокупность правил оперирования с этими знаками. Примеры: специальные языковые системы, физические или химические формулы, математические выражения и формулы, нотная запись и т. д. Программа, записанная по правилам языка программирования, является знаковой моделью.

Одним из наиболее распространенных формальных языков является алгебраический язык формул в математике, который позволяет описывать функциональные зависимости между величинами. Составление математической модели во многих задачах моделирования хоть и промежуточная, но очень существенная стадия.

Математическая модель– способ представления информационной модели, отображающий связь различных параметров объекта через математические формулы и понятия.

В тех случаях, когда моделирование ориентировано на исследование моделей с помощью компьютера, одним из его этапов является разработка компьютерной модели.

Компьютерная модель– это созданный за счет ресурсов компьютера виртуальный образ, качественно и количественно отражающий внутренние свойства и связи моделируемого объекта, иногда передающий и его внешние характеристики.