4 Кручение

Кручением называется такой вид напряженного и деформируемого состояния, при котором в поперечном сечении круглого стержня возникает только один внутренний силовой фактор, – крутящий момент , действующий в плоскости сечения.

Крутящий момент, действующий в каком-либо сечении на левую часть бруса, равен и противоположно направлен крутящему моменту, действующему в том же сечении на его правую часть. Следовательно, кручение является примером чистого сдвига, при котором в поперечном сечении возникают только касательные напряжения.

На основании метода сквозного разреза, крутящий момент в произвольном поперечном сечении стержня численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, действующих по одну сторону от сечения, и направлен в противоположную сторону по отношению к их равнодействующему моменту.

Крутящий момент является положительным, если внешний скручивающий момент поворачивает круглый вал по часовой стрелке, если смотреть со стороны разреза.

Правило остаётся неизменным для любой рассматриваемой части вала – левой или правой. Пример построения эпюр показан на рис. 6.

Рис. 3 Эпюра крутящих моментов

Определяем значения крутящих моментов на каждом силовом участке:

; ;

;

;

.

При рассмотрении эпюр учитываются следующие факторы: крутящие моменты в опорных сечениях равны нулю, если опоры подшипники; скачки на эпюре равны величине скручивающих моментов, приложенных в данном сечении; расчет на прочность производится по наибольшей абсолютной величине крутящего момента. В данном примере это.

Критерий прочности при кручении имеет вид

, (5)

где – полярный момент сопротивления,см³;

–максимальный крутящий момент;

–допускаемые напряжения при кручении.

Подбор поперечного сечения осуществляется по формуле

. (6)

Для расчета сплошных и полых валов по формулам (5) и (6) необходимо определять полярные момент инерции и момент сопротивления, выразив данные характеристики через диаметр.

Для сплошного вала

(7)

Для полого вала

(8)

где .

Значение позволяет подобрать диаметр вала по формулам:

, . (9)

Расчет на жесткость при кручении проводится по следующей формуле:

(10)

Угол закручивания пропорционален крутящему моменту, длине участка, на котором он действует, и обратно пропорционален жесткости при кручении.

В данном выражении угол закручивания выражен в радианах, а перерасчет в градусах производят из соотношенияи проводят расчет на длину вала в 100см:

. (11)

При расчете валов принимают:

при статических нагрузках –;

при переменных напряжениях – ;

при ударных нагрузках – .

5 Поперечный изгиб

Изгибом называется такой вид напряженного и деформируемого состояния, когда в поперечных сечениях стержня, называемого балкой, возникают изгибающие моменты , действующие в плоскости, перпендикулярной поперечному сечению, и поперечные силы, действующие в этом сечении.

Такой вид изгиба называется поперечным (в отличие от продольного изгиба, вызываемого действием продольных сил).

Внешней нагрузкой при изгибе могут быть сосредоточенные силы и изгибающие моменты, а также распределенные нагрузки .

Внешнюю нагрузку уравновешивают реакции, возникающие в опорах балок. Вид опорной реакции зависит от устройства опоры, т.е. от того, сколько связей накладывает это устройство.

Подвижная шарнирная опора (рис. 4, а) накладывает одну связь, препятствующую перемещениям в направлении, перпендикулярном её основанию. Этой связи соответствует одна реакция .

Рис. 4 Виды опорных реакций

Неподвижная шарнирная опора (рис. 4, б) накладывает две связи, препятствующие перемещениям в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Им соответствуют две реакции – и .

Консольная заделка накладывает три связи, препятствующие вертикальному и горизонтальному перемещениям и повороту опоры (рис. 4, в).

Рекомендуется следующая последовательность при вычислении опорных реакций:

Составляют уравнения суммы моментов всех внешних сил относительно центров тяжести опорных сечений и приравнивают их к нулю. Из этих уравнений определяют две неизвестные опорные реакции.

Из суммы проекций всех внешних сил на ось х находят третью неизвестную реакцию.

Проверяют правильность определения вертикальных опорных реакций с помощью уравнения суммы проекций всех сил на ось у, которая должна быть равна нулю.

После определения опорных реакций приступают к исследованию напряженного состояния в сечениях балки, для чего должны быть найдены внутренние силовые факторы – поперечные силы и изгибающие моменты. Они определяются с помощью метода сквозного разреза.

Поперечная сила в сечении балки численно равна алгебраической сумме внешних поперечных сил, действующих по одну сторону от сечения.

При вычислении поперечной силы по силам, находящимся слева от сечения, любую внешнюю силу будем считать положительной, если она направлена вверх (рис. 5).

При вычислении поперечной силы , по силам находящимся справа от сечения, любую внешнюю силу будем считать положительной, если она направлена вниз (рис. 5).

Рис. 5 Правило знаков для поперечных сил и изгибающих моментов

При вычислении изгибающего момента по действию сил, находящихся слева от сечения, момент любой внешней силы относительно центра тяжести сечения будем считать положительным, если он обусловливает вращение левой части балки по часовой стрелке (рис. 5).

При вычислении изгибающего момента по действию сил, находящихся, справа от сечения, момент любой внешней силы относительно центра тяжести сечения будем считать положительным, если он обусловливает вращение правой части балки против часовой стрелки (рис. 5).

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов производится следующим образом (рис. 6).

Определяем опорные реакции, используя уравнения суммы моментов внешних сил относительно центров тяжести опорных реакций:

;

;

Делаем проверку с помощью уравнения суммы проекций всех сил на ось у:

;

Рис. 6 Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Определяем значения поперечных сил изгибающих моментовна каждом силовом участке:

Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов(рис. 6).

В расчет на прочность принимают наибольшую по абсолютной величине ординату из эпюры изгибающих моментов. В нашем примере — это .

Следует обратить внимание на то, что скачки на эпюрах иимеют место против тех сечений балки, где приложены соответственно сосредоточенные силы или изгибающие моменты. Величина скачка должна быть равна величине сосредоточенной силы или момента.

Критерий прочности при изгибе по нормальным напряжениям

(12)

где – момент сопротивления относительно осих;

–максимальное значение , взятое из эпюры;

–наибольшее нормальное напряжение;

–допускаемые напряжения, зависят от материала балки.

Подбор поперечного сечения осуществляется по формуле

(13)

Для прямоугольного и круглого профиля поперечного сечения необходимо знать значения и.

Рис. 7 Прямоугольное и круглое поперечные сечения

Прямоугольное сечение (рис. 7, ):	Круглое сечение (рис. 7, ):
		(14)

Диаметр балки круглого поперечного сечения подбирается следующим образом:

. (15)

Размеры балки прямоугольного поперечного сечения, подбираются аналогично, если задаться отношением его высоты и ширины.

Подсчитываем фактические напряжения и сравниваем их с допускаемыми:

(16)

Для прокатных профилей по таблицам ГОСТа подбираем близкое значение и по формуле (16) сравниваем фактические напряжения с допускаемыми.

Проверка конструкции на прочность по касательным напряжениям осуществляется по формуле Журавского:

. (17)

где – максимальное значение , взятое из эпюры;

–статический момент сечения относительно оси х;

–наибольшее касательное напряжение;

–допускаемые напряжения, зависят от материала балки.