1.9. Примеры выполнения задания 9

Рассмотрим случаи, в которых замена переменной позволяет интегралы от иррациональных функций свести к интегралам от рациональных функций.

I. Интегралы виды вычисляются с помощью замены:,,.

II. Интегралы от дробно-линейных функций, т.е. интегралы виды , гдевычисляются с помощью подстановки.

III. Интегралы вида . Могут быть найдены с помощью обратной подстановки.

IV. Интегралы вида в простейших случаях сводятся к табличным, необходимая замена переменной определяется после выделения полного квадрата в квадратном трехчлене.

Пример 9. Найти интегралы

а) ; б);

в) ; г).

Решение.

а) Воспользуемся подстановкой или. Тогдаи. Указанная подстановка приводит интеграл к виду

б) Подстановка приводит интеграл к виду

в) Воспользуемся подстановкой откуда. Выразим, тогда.

Интеграл примет вид

результат вычисления данного интеграла можно найти в справочнике Двайта «таблицы интегралов» с.30, №122.2.

Следовательно,

Заметим, что интеграл может быть найден с помощью подстановки.

Действительно,

Возвращаясь к переменной t, выразим функции:

,

Тогда

Заметим, что полученный результат:

соответствует результату, найденному с помощью таблицы.

Дальнейшие преобразования (переход к переменной х) ранее уже

были приведены.

2. Индивидуальные задания

Задание 1.

Найти интеграл, результат проверить дифференцированием.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.		26.
27.		28.
29.		30.
31.		32.
33.		34.
35.		36.
37.		38.
39.		40.
41.		42.
43.		44.
45.		46.
47.		48.
49.		50.
51.		52.
53.		54.
55.		56.
57.		58.
59.		60.
61.		62.
63.		64.
65.		66.
67.		68.
69.		70.
71.		72.
73.		74.
75.		76.
77.		78.
79.		80.

Задание 2.

Найти интеграл, результат проверить дифференцированием.

1.		2.		3.
4.		5.		6.
7.		8.		9.
10.		11.		12.
13.		14.		15.
16.		17.		18.
19.		20.		21.
22.		23.		24.
25.		26.		27.
28.		29.		30.
31.		32.		33.
34.		35.		36.
37.		38.		39.
40.		41.		42.
43.		44.		45.
46.		47.		48.
49.		50.		51.
52.		53.		54.
55.		56.		57.
58.		59.		60.
61.		62.		63.
64.		65.		66.
67.		68.		69.
70.		71.		72.
73.		74.		75.
76.		77.		78.
79.		80.

Задание 3.

Найти интеграл, результат проверить дифференцированием.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.		26.
27.		28.
29.		30.
31.		32.
33.		34.
35.		36.
37.		38.
39.		40.
41.		42.
43.		44.
45.		46.
47.		48.
49.		50.
51.		52.
53.		54.
55.		56.
57.		58.
59.		60.
61.		62.
63.		64.
65.		66.
67.		68.
69.		70.
71.		72.
73.		74.
75.		76.
77.		78.
79.		80.

Задание 4.

Найти интеграл, применив метод интегрирования по частям. Результат проверить дифференцированием.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.		26.
27.		28.
29.		30.
31.		32.
33.		34.
35.		36.
37.		38.
39.		40.
41.		42.
43.		44.
45.		46.
47.		48.
49.		50.
51.		52.
53.		54.
55.		56.
57.		58.
59.		60.
61.		62.
63.		64.
65.		66.
67.		68.
69.		70.
71.		72.
73.		74.
75.		76.
77.		78.
79.		80.

Задание 5.

Найти интеграл от выражений, содержащих квадратный трехчлен.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.		26.
27.		28.
29.		30.
31.		32.
33.		34.
35.		36.
37.		38.
39.		40.
41.		42.
43.		44.
45.		46.
47.		48.
49.		50.
51.		52.
53.		54.
55.		56.
57.		58.
59.		60.
61.		62.
63.		64.
65.		66.
67.		68.
69.		70.
71.		72.
73.		74.
75.		76.
77.		78.
79.		80.

Задание 6.

Найти интеграл от рациональной дроби, предварительно разложив ее на сумму простейших дробей.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.		26.
27.		28.
29.		30.
31.		32.
33.		34.
35.		36.
37.		38.
39.		40.
41.		42.
43.		44.
45.		46.
47.		48.
49.		50.
51.		52.
53.		54.
55.		56.
57.		58.
59.		60.
61.		62.
63.		64.
65.		66.
67.		68.
69.		70.
71.		72.
73.		74.
75.		76.
77.		78.
79.		80.

Задание 7.

Найти интеграл.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.		26.
27.		28.
29.		30.
31.		32.
33.		34.
35.		36.
37.		38.
39.		40.
41.		42.
43.		44.
45.		46.
47.		48.
49.		50.
51.		52.
53.		54.
55.		56.
57.		58.
59.		60.
61.		62.
63.		64.
65.		62.
67.		68.
69.		70.
71.		72.
73.		74.
75.		76.
77.		78.
79.		80.

Задание 8.

Найти интеграл, применяя тригонометрическую подстановку.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.		26.
27.		28.
29.		30.
31.		32.
33.		34.
35.		36.
37.		38.
39.		40.
41.		42.
43.		44.
45.		46.
47.		48.
49.		50.
51.		52.
53.		54.
55.		56.
57.		58.
59.		60.
61.		62.
63.		64.
65.		66.
67.		68.
69.		70.
71.		72.
73.		74.
75.		76.
77.		78.
79.		80.

Задание 9.

Найти интеграл.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.		26.
27.		28.
29.		30.
31.		32.
33.		34.
35.		36.
37.		38.
39.		40.
41.		42.
43.		44.
45.		46.
47.		48.
49.		50.
51.		52.
53.		54.
55.		56.
57.		58.
59.		60.
61.		62.
63.		64.
65.		66.
67.		68.
69.		70.
71.		72.
73.		74.
75.		76.
77.		78.
79.		80.