- •Методы оптимальных решений
- •Методические указания по выполнению контрольной работы
- •Оглавление
- •Симплекс-метод решения задач лп, обладающих очевидным начальным базисом
- •Симплекс-метод решения задач лп, обладающих очевидным начальным базисом и заданных в каноническом виде
- •Решение задач лп не обладающих очевидным начальным базисом двухэтапным симплекс-методом
- •Транспортная задача линейного программирования
- •Модели сетевого планирования и управления
- •Библиографический список
Транспортная задача линейного программирования
Задача 6. На двух складах хранится однородный товар в объёмах ,. Его необходимо доставить в четыре магазина, потребности которыхb1=30, b2=30, b3=20, b4=20. Удельные транспортные затраты на перевозки: . Для данной задачи составить оптимальный план перевозок.
Определим тип задачи:
- суммарные запасы;
- суммарные потребности.
Т.к. , то задача закрытая.
Если выполняется неравенство - транспортная задача называется открытой транспортной задачей с избыточным спросом. Она может быть приведена к закрытой задаче, если ввести в рассмотрение условного поставщика, величина запасов у которого: , а удельные транспортные затраты по перевозке груза от условного поставщика ко всем потребителям принимаются равными 0: . Компоненты найденного плана поставок означают количество товара, которое недополучит потребитель .При этом матрица планирования транспортной задачи дополняется одной строкой.
Если выполняется неравенство - транспортная задача называется открытой транспортной задачей с избыточным предложением. Она может быть приведена к закрытой задаче, если ввести в рассмотрение условного потребителя, величина запасов у которого:, а удельные транспортные затраты по перевозке груза от условного поставщика ко всем потребителям принимаются равными 0: . Компоненты , найденного плана поставок означают количество товара, которое останется у поставщика после того как потребности всех потребителей будут удовлетворены. При этом матрица планирования транспортной задачи дополняется одним столбцом
Определим тип задачи:
- суммарные запасы;
- суммарные потребности.
Т.к. , то задача закрытая.
Не учитывая удельные транспортные затраты на перевозку груза, начинаем удовлетворять потребности 1-го потребителя B1 за счёт 1-го поставщика A1. Потребности потребителя B1 удовлетворены, а у поставщика A1 осталось 20 ед. товара, поэтому за счёт A1 пытаемся удовлетворить потребности B2 (переходим на клетку вправо). На складе A1 товара не осталось, а потребности B2 не удовлетворены, поэтому удовлетворяем его потребности за счёт склада А2 (перемещаемся на клетку вниз). Потребности В2 удовлетворены, а на складе А2 осталось 40 ед. товара, поэтому удовлетворяем за счёт его потребности В3 (переходим на клетку вправо). Потребности В3 удовлетворены, а на складе А2 осталось 20 ед. товара, поэтому удовлетворяем за счёт его потребности В4 (переходим на клетку вправо). Всего базисных клеток.
Начальный план перевозок, полученный методом северо-западного угла, представлен в таблице 12:
Таблица 12
4 30 |
2 20 |
1 |
3 |
50 |
2 |
3 10 |
4 20 |
1 20 |
50 |
30 |
30 |
20 |
20 |
100 |
Клетка называется занятой, если в ней находится какой-либо объём перевозок. Базисом транспортной задачи называется набор занятых клеток, обладающих следующим свойством: в каждой строке и в каждом столбце должна быть хотя бы одна базисная клетка. Потенциалами строк и столбцов относительно базиса Б называется набор чисел,, удовлетворяющие уравнению:
, если (1)
где - потенциал-ой строки;- потенциал-ого столбца.
После того как найдены потенциалы строк и столбцов определяем относительные оценки небазисных клеток по формуле:
, если (2)
Если нет то текущий план оптимален.
Проверим на оптимальность начальный план перевозок, представленный в таблице 12.
По базисным клеткам по формуле (1) составим систему уравнений для определения потенциалов строк и столбцов:
Эта система содержит уравнений снеизвестными. Т.к. уравнений на 1 меньше чем неизвестных, система является неопределённой и одному неизвестному (которое чаще всего встречается) присваивают нулевое значение. После этого остальные потенциалы определяются однозначно.
Пусть , тогда
Вычисляем по формуле (2) относительные оценки небазисных клеток:
Т.к. есть , текущий план не оптимален.
В таблице 13 представлен начальный план перевозок, проверенный на оптимальность:
Таблица 13
4 30 |
2 20 |
1
-2 |
3
1 |
50 |
2
-3 |
3 10 |
4 20 |
1 20 |
50 |
30 |
30 |
20 |
20 |
100 |
Примечание: в правом нижнем угле указаны относительные оценки небазисных клеток.
Если план не оптимален, то выбираем клетку с наименьшей отрицательной относительной оценкой и включаем эту клетку в базис, т.е. . (3)
Чтобы найти клетку, исключаемую из базиса, строим цикл пересчёта, который начинается с клетки и в дальнейшем проходит по базисным клеткам. Циклом называется замкнутая ломаная линия, вершины которой расположены в базисных клетках, а звенья – вдоль строк и столбцов, причём в каждой строке и каждом столбце соединяются либо две клетки, либо не одной. Если ломаная цикла пересекается, то точки пересечения вершинами не являются.
В клетках, расположенных в вершинах цикла перераспределяем объёмы перевозок. К клетке вводимой в базис добавляем некоторую величину Θ (промежуточная рента), из следующей клетки Θ вычитаем, далее прибавляем и т.д. Промежуточная рента Θ равна минимальному объёму перевозок в тех клетках, где Θ вычитаем. Базисная клетка, в которой объём перевозок равен Θ выходит из базиса (если таких клеток несколько, то выходит одна, а в других объёмы перевозок равны 0). Следующий план будет дешевле предыдущего на величину
. (4)
Произведем перераспределение перевозок и доведем до оптимального план из таблицы 13.
Выбираем наименьшую отрицательную относительную оценку () и эту клетку включаем в базис ().
В таблице 14 построен цикл пересчёта и перераспределены перевозки:
Таблица 14
4 30 -Θ |
2 20 +Θ |
1 |
3 |
50 |
2 +Θ |
3 10 -Θ |
4 20 |
1 20 |
50 |
30 |
30 |
20 |
20 |
100 |
Определим промежуточную ренту Θ:
.
Уменьшение транспортных затрат:.
Новый план перевозок записан в таблице 15(изменяем объёмы перевозок только в клетках, находящихся в вершинах цикла):
Таблица 15
4 20 |
2 30 |
1
|
3
|
50 |
2 10
|
3 |
4 20 |
1 20 |
50 |
30 |
30 |
20 |
20 |
100 |
Проверим новый план на оптимальность.
Потенциалы строк и столбцов:
Пусть , тогда
Относительные оценки:
В таблице 16 представлен начальный план перевозок, проверенный на оптимальность:
Таблица 16
4 20 |
2 30 |
1
-5 |
3
0 |
50 |
2 10
|
3
3 |
4 20 |
1 20 |
50 |
30 |
30 |
20 |
20 |
100 |
Т.к. есть , текущий план не оптимален. Вводим клеткув базис и строим цикл пересчёта.
Новый план перевозок представлен в таблице 17.
Таблица 17
4 20 -Θ |
2 30 |
1 +Θ |
3
|
50 |
2 10 +Θ
|
3 |
4 20 -Θ |
1 20 |
50 |
30 |
30 |
20 |
20 |
100 |
Определим промежуточную ренту:
.
Уменьшение транспортных затрат:.
Новый план перевозок (смотри таблицу 18):
Таблица 18
4 |
2 30 |
1 20 |
3 |
50 |
2 30 |
3 |
4 0 |
1 20 |
50 |
30 |
30 |
20 |
20 |
100 |
Проверим новый план на оптимальность.
Потенциалы строк и столбцов:
Пусть , тогда
Относительные оценки:
План перевозок имеет вид (смотри таблицу 19):
Таблица 19
4
5 |
2 30 |
1 20
|
3
5 |
50 |
2 30
|
3
-2 |
4 0 |
1 20 |
50 |
30 |
30 |
20 |
20 |
100 |
Т.к. есть , текущий план не оптимален. Вводим клеткув базис и строим цикл пересчёта (смотри таблицу20).
Таблица 20
4 |
2 30 -Θ |
1 20 +Θ |
3 |
50 |
2 30 |
3 +Θ
|
4 0 -Θ |
1 20 |
50 |
30 |
30 |
20 |
20 |
100 |
Определим промежуточную ренту:
.
Уменьшение транспортных затрат: .
Новый план перевозок (смотри таблицу 21):
Таблица 21
4 |
2 30 |
1 20 |
3 |
50 |
2 30 |
3 0 |
4 |
1 20 |
50 |
30 |
30 |
20 |
20 |
100 |
Проверим новый план на оптимальность.
Потенциалы строк и столбцов:
Пусть , тогда
Относительные оценки:
Т.к. нет , текущий план оптимален.
Стоимость перевозок по этому плану:
.
Минимальная стоимость перевозок в размере 160 руб. достигается, если перевезти с 1-го склада во 2-ой магазин 30 ед. товара и в 3-ий магазин 20 ед., а со 2-го склада – 30 ед. в 1-ый магазин и 20 ед. в 4-ый магазин.