Элементы атомной физики и квантовой механики. Физика твёрдого тела. Основные формулы. Боровская теория водородоподобного атома.

Момент импульса электрона (второй постулат Бора)

L_n= ħn, или

mv_nr_n= ħn,

где m - масса электрона; v_n- скорость электрона на n-й орбите;

r_n- радиус n-й стационарной орбиты; ħ - постоянная Планкаделённая на 2;

n - главное квантовое число (n = 1, 2, 3, ...).

Радиус n-й стационарной орбиты

r_n= a_on²,

где a_o– радиус первой боровской орбиты

Энергия электрона в атоме водорода

Е_n= Е_i/n²,

где Е_i- энергия ионизация атома водорода (E_i = 136 эВ).

Энергия, излучаемая или поглощаемая атомом водорода,

 = h= E_n2- E_n1

или

,

где - частота излучения или поглощения атома;

Волновые свойства частиц

Длина волны де Бройля

 = h/p,

где p - импульс частицы.

Импульс частицы и его связь с кинетической энергией Т:

а) p = m_ov;, при v << c

 приvc

где m_o- масса покоя частицы; m - релятивистcкая масса; v - скорость частицы; c - скорость света в вакууме; E_o- энергия покоя частицы (E_o= m₀c²).

Соотношения неопределенностей:

а) p_xxħ (для координаты и импульса),

где p_x- неопределенность проекции импульса частицы на ось Х;x - неопределенность координатыxчастицы;

б) Et .ħ (для энергии и времени),

где E - неопределенность энергии;t - время жизни квантовой системы в данном энергетическом состоянии.

Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний



где (x) - волновая функция, описывающая состояние частицы; m - масса частицы; E - полная энергия; U = U(x) -потенциальная энергия частицы.

Плотность вероятности



где d(x) - вероятность того, что частица может быть обнаружена вблизи точки с координатой x на участке dx.

Вероятность обнаружения частицы в интервале от x₁ до x₂

Решение уравнения Шрёдингера для одномерного, бесконечно глубокого, прямоугольного потенциального ящика:

а) 

б) 

где _n(x) - собственная нормированная волновая функция, E_n- собственное значение энергии микрочастицы, n - квантовое число (n= = 1, 2, 3, ...),- ширина ящика.

Вероятность проникновения частицы через одномерный высокий прямоугольный потенциальный барьер конечной ширины



где - ширина барьера, ħ - постоянная Планка, делённая на 2m - масса микрочастицы, U - высота потенциального барьера, E - энергия микрочастицы.

Атомное ядро. Радиоактивность

Массовое число ядра (число нуклонов в ядре)

A = Z + N,

где Z - зарядовое число (число протонов в ядре); N - число нейтронов в ядре.

Закон радиоактивного распада

dN = -Ndt, или,

где dN - число ядер, распадающихся за интервал времени dt; N₀- число ядер в момент времени, принятый за начальный; N - число ядер, не распавшихся к моменту времени t;- постоянная радиоактивного распада.

Число ядер, распавшихся за время t



В случае, если интервал времени t, за который определяется число распавшихся ядер, много меньше периода полураспада T_1/2, то число распавшихся ядер можно определять по формуле

N = Nt.

Зависимость периода полураспада от постоянной радиоактивного распада

T_1/2= (ln2)/= 0,693/.

Среднее время  жизни радиоактивного ядра, т.е. интервал времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в e раз

 = 1/.

Число N атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе

,

где m - масса изотопа; - молярная масса; N_A- постоянная Авогадро.

Активность A радиоактивного изотопа

A = - dN/dt = N, или

,

где dN- число ядер, распадающихся за интервал времени dt; A_o- активность изотопа в начальный момент времени.

Удельная активность изотопаa = A/m.

Дефект массы ядра

m = Zm_p+ (A - Z)m_n- m_я,

где Z - зарядовое число ( число протонов в ядре); A - массовое число (число нуклонов в ядре); (A - Z) - число нейтронов в ядре; m_p- масса протона; m_n- масса нейтрона; m_я- масса ядра.

Энергия связи ядра

E_св=mc²,

где m - дефект массы ядра; c - скорость света в вакууме.

Во внесистемных единицах энергия связи равна E_св= 93144m, где дефект массыm-в а.е.м.; 93144-коэффициент пропорциональности (1 а.е.м.=93144 МэВ/c²).

Теплоёмкость кристаллов

Средняя энергия квантового одномерного осциллятора

<> =_o+ ħ/(exp(ħ/(kT)) - 1),

где _o- нулевая энергия (_o= ħ/2); ħ - постоянная Планкаделённая на 2;-циклическая частота колебаний осциллятора; k - постоянная Больцмана; T - термодинамическая температура.

Молярная внутренняя энергия системы, состоящей из невзаимо-действующих квантовых осцилляторов

U_m = U_om+ 3R_E/(exp(_E/T) - 1),

где R - универсальная газовая постоянная; _E= ħ/k - характеристическая температура Эйнштейна; U_om= 3R_E/2 - молярная нулевая энергия Эйнштейна.

Молярная теплоёмкость кристаллического твёрдого тела в области низких температур ( T < _D - предельный закон Дебая)



Теплота, необходимая для нагревания тела



где m - масса тела; - молярная масса; T₁и T₂- начальная и конечная температуры тела.