Inverse matrix calculation

5 10 1

1.0 2.0 -3.0 -4.0 -1.0 1.0 .0 .0 .0 .0

2.0 -1.0 3.0 5.0 2.0 .0 1.0 .0 .0 .0

3.0 1.0 -1.0 -2.0 -1.0 .0 .0 1.0 .0 .0

4.0 3.0 4.0 6.0 2.0 .0 .0 .0 1.0 .0

1.0 -1.0 -1.0 -4.0 -3.0 .0 .0 .0 .0 1.0

1 4 -4.000

-.250 -.500 .750 1.000 .250 -.250 .000 .000 .000 .000

3.250 1.500 -.750 .000 .750 1.250 1.000 .000 .000 .000

2.500 .000 .500 .000 -.500 -.500 .000 1.000 .000 .000

5.500 6.000 -.500 .000 .500 1.500 .000 .000 1.000 .000

.000 -3.000 2.000 .000 -2.000 -1.000 .000 .000 .000 1.000

2 1 3.250

.000 -.385 .692 1.000 .308 -.154 .077 .000 .000 .000

1.000 .462 -.231 .000 .231 .385 .308 .000 .000 .000

.000 -1.154 1.077 .000 -1.077 -1.462 -.769 1.000 .000 .000

.000 3.462 .769 .000 -.769 -.615 -1.692 .000 1.000 .000

.000 -3.000 2.000 .000 -2.000 -1.000 .000 .000 .000 1.000

3 2 -1.154

.000 .000 .333 1.000 .667 .333 .333 -.333 .000 .000

1.000 .000 .200 .000 -.200 -.200 .000 .400 .000 .000

.000 1.000 -.933 .000 .933 1.267 .667 -.867 .000 .000

.000 .000 4.000 .000 -4.000 -5.000 -4.000 3.000 1.000 .000

.000 .000 -.800 .000 .800 2.800 2.000 -2.600 .000 1.000

4 3 4.000

.000 .000 .000 1.000 1.000 .750 .667 -.583 -.083 .000

1.000 .000 .000 .000 .000 .050 .200 .250 -.050 .000

.000 1.000 .000 .000 .000 .100 -.267 -.167 .233 .000

.000 .000 1.000 .000 -1.000 -1.250 -1.000 .750 .250 .000

.000 .000 .000 .000 .000 1.800 1.200 -2.000 .200 1.000

Determinant = .000

There are not inverse matrix

Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +. . .+ a_1nx_n = b₁,

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ +. . .+ a_2nx_n = b₂,

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

a_m1x₁ + a_m2x₂ +. . .+ a_mnx_n = b_m,

Матрицу этой системы А, столбец свободных членов В и столбец неизвестных Х запишем в виде:

a₁₁ a₁₂. . .a_1n,

a₂₁ a₂₂. . .a_2n,

А = . . . . . . . (2)

a_m1 a_m2. . a_mn,

b₁

b₂,

В = (3)

b_m,

х₁

х₂,

Х = (4)

х_n,

Длина столбца В равна m. Длина столбца Х равна n. Систему (1) удобно записывать в матричном виде АХ = В. Если матрица А квадратная и невырожденная, то можно найти обратную матрицу А^-1. Зная А^-1, легко найти решение матричного уравнения, умножив обе его части на А^-1 слева:

А^-1АХ = А^-1В, ЕХ = А^-1В, Х = А^-1В.

Здесь Е – единичная матрица.

Решение системы (1, 6) находится умножением матрицы А^-1, полученной в конце предыдущего параграфа, на столбец

1.000

8.000

В = 3.000

-2.000

-3.000 .

2.000

.000

Х = А^-1В= -2.000

-2.000

1.000

Обратную матрицу можно использовать и при решении линейных систем, у которых число неизвестных n больше числа уравнений m.

В этом случае удобна векторная форма записи системы линейных уравнений

А₁ x₁ + А₂ x₂ +…+ А_n x_n = В, (5)

или подробнее

a₁₁ a₁₂ a_1n b₁,

a₂₁ a₂₂ a_2n b₂,

x₁ + x₂ +…+ x_n = (6)

a_m1 a_m2 a_mn b_m,

Здесь x₁ , x₂ , x₃ ,…, x_n - искомые неизвестные, В – столбец свободных членов, n – количество неизвестных. Как видно из (2), (5) и (6), А₁ , А₂ ,, А₃ , …, А_n - столбцы матрицы (2).

Будем считать, что ранг матрицы системы (1) равен числу уравнений m. Тогда можно выбрать m столбцов и составить из них невырожденную матрицу A_b. Из оставшихся k столбцов составим матрицу А_с.

a₁₁ a₁₂. . . a_1k

a₂₁ a₂₂. . . a_2k

А_с.= (7)

a_m1 a_m2… a_mk

a_1k+1 a_1k+2. . . a_1k+m

a_2k+1 a_2k+2. . . a_2k+m

= (8)

a_mk+1 a_mk+2. . a_mk+m

Вектор - столбец Х тоже разобьем на два вектора – столбца, соответствующих свободным и базисным переменным.

х₁

х₂,

Х_с = (9)

х_k

х_k+1

х_k+2

Х_b = (10)

х_k+m

Легко убедиться, что введенные обозначения позволяют переписать систему (1) в виде

+ = В (11)

После умножения на получим

+ = В,

= В - . (12)

Последнее соотношение представляет собой выражение базисных переменных через свободные, иначе – это общее решение системы (1).

В сущности (12) есть ничто иное, как результат умножения обеих частей равенства (5) на А^-1 .

А^-1А₁ x₁ + А^-1 А₂ x₂ +…+ А^-1А_n x_n = А^-1В. (13)

Ниже приведено компьютерное решение системы (3, 6) с помощью обратной матрицы. Первая матрица – расширенная матрица системы. Вторая матрица – это квадратная матрица , составленная из базисных столбцов (номера базисных столбцов должны быть указаны). Третья матрица – это обратная матрица . Наконец последняя матрица – это результат умножения на столбцы расширенной матрицы. Первые 4 столбца последней матрицы – это единичная матрица = Е.