- •Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
- •Фгбоу впо «Самарская государственная сельскохозяйственная академия»
- •Е. В. Бунтова
- •Математика
- •Введение
- •2.1. Формулы Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений и ее решение методом обратной матрицы
- •2.4. Элементарные преобразования матрицы
- •2.5. Ранг матрицы
- •3.1. Теорема Кронекера-Капелли
- •3.2. Метод Гаусса решения систем m линейных уравнений с n неизвестными
- •3.3. Общее, базисное и частное решение систем линейных алгебраических уравнений.
- •3.4. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •4.2. Линейные операции над векторами.
- •4.3. Декартова система координат
- •4.4. Скалярное произведение векторов, основные свойства и выражение в координатной форме
- •4.5. Векторное произведение векторов. Основные свойства векторного произведения векторов и выражение в координатной форме
- •4.6. Применение векторного произведения векторов к решению задач
- •4.7. Смешанное произведение векторов. Основные свойства смешанного произведения векторов и выражение в координатной форме
- •4.8. Применение смешанного произведения векторов к решению задач
- •5.1. Линейное пространство
- •5.3. Разложение вектора по базису. Линейные пространства
- •6.1. Линейные преобразования
- •6.2. Собственные значения и собственные векторы матрицы
- •6.3. Свойства собственных векторов матрицы
- •7.1. Уравнение линии на плоскости. Прямая линия и различные формы ее уравнений на плоскости
- •Свойства прямой в евклидовой геометрии.
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Прямая линия, пересекающая ось в точкеи образующая уголс положительным направлением оси
- •Уравнение прямой в отрезках.
- •Нормальное уравнение прямой.
- •7.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •7.3. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •8.1. Каноническое уравнение окружности и ее основные характеристики
- •8.2. Каноническое уравнение эллипса и его характеристики
- •8.3. Каноническое уравнение гиперболы и ее характеристики
- •8.4. Каноническое уравнение параболы и ее характеристики
- •8.5. Исследование кривых второго порядка
- •9.1. Плоскость и ее уравнения
- •9.2. Общее уравнение плоскости и его частные виды
- •9.3. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
- •9.4. Нормальное уравнение плоскости
- •10.1. Уравнение прямой в пространстве
- •10.2. Условия параллельности и перпендикулярности, прямых в пространстве
- •10.3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •11.1. Общая теория поверхностей второго порядка
- •11.2. Классификация поверхностей второго порядка
- •11.3. Расположение поверхностей второго порядка
- •12.1. Определение функции. Функциональная зависимость. Область определения функции и способы ее задания
- •12.2. Графическое изображение функции. Классификации функций
- •12.3. Числовые последовательности и их роль в вычислительных процессах. Ограниченные и неограниченные последовательности
- •12.4. Сходимость числовых последовательностей
- •12.5. Предел функции. Односторонние пределы
- •12.6. Основные теоремы о пределах функции
- •13.1. Первый, второй замечательные пределы и их применение к раскрытию неопределенностей. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •13.2. Непрерывность функции в точке и на интервале
- •13.3. Классификация точек разрыва функции
- •14.1. Определение производной функции
- •14.2. Геометрический и механический смысл производной
- •14.3. Основные правила дифференцирования
- •14.4. Производная обратной, параметрически заданной функции
- •14.5. Производная показательно-степенной функции.
- •15.1. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши
- •15.2. Правило Лопиталя
- •15.3. Дифференциал функции
- •15.4. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •15.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •16.1. Экстремум функции. Возрастание и убывание функции
- •16.2. Точки перегиба функции и участки выпуклости и вогнутости графика функции
- •16.3. Асимптоты графика функции
- •16.4. Общая схема исследования функции и построение ее графика
- •17.1. Определение функции многих переменных. Область определения функции многих переменных
- •17.2. Частные производные и дифференциалы первого и высших порядков
- •17.3. Теорема о смешанных производных
- •17.4. Производная по направлению
- •18.1. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •18.2. Необходимое и достаточное условия экстремума функции двух переменных
- •18.3. Условный экстремум функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции на замкнутом множестве
- •18.4. Метод множителей Лагранжа
- •19.1. Первообразная функции
- •19.2. Неопределенный интеграл и его свойства
- •19.3. Таблица основных интегралов
- •19.4. Интегрирование методом замены переменной
- •20.1. Интегрирование по частям
- •20.2. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
- •21.1. Интегрирование элементарных дробей
- •21.2. Интегрирование рациональных дробей
- •22.1. Интегрирование методом замены переменной
- •22.2. Интегрирование по частям
- •22.3. Интегрирование с помощью универсальных подстановок
- •23.1. Линейные и дробно-линейные иррациональности
- •23.2. Квадратичные иррациональности
- •24.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
- •24.2. Определение определенного интеграла
- •24.3. Свойства определенного интеграла. Теорема Коши о существовании определенного интеграла
- •24.4. Формула Ньютона-Лейбница
- •25.1. Геометрические приложения определенного интеграла
- •25.2. Физические приложения определенного интеграла
- •25.3. Методы приближенного вычисления определенного интеграла
- •26.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •26.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •26.3. Признак сходимости несобственных интегралов (признак сравнения)
- •27.1. Постановка задачи интегрирования функции многих переменных
- •27.2. Двойной интеграл и его свойства
- •27.3. Сведение двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования
- •28.1. Геометрический смысл двойного интеграла
- •28.2. Физические приложения двойного интеграла
- •29.1. Определение криволинейного интеграла
- •29.2. Вычисление криволинейных интегралов первого и второго рода. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •29.3. Формула Грина
- •30.1. Комплексные числа и их изображение на плоскости
- •30.2. Модуль и аргумент комплексного числа
- •30.3. Различные формы записи комплексного числа. Формула Эйлера. Алгебраические действия над комплексными числами
- •31.1. Задачи, приводящие к составлению и решению дифференциальных уравнений
- •31.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема Коши. Понятие об общем и частном решении дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.
- •32.1. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Физические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений первого порядка
- •32.2. Однородные дифференциальные уравнения.
- •33.1. Дифференциальные уравнения второго порядка,
- •33.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •34.1. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •34.2. Особенности интегрирования неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Метод вариации произвольной постоянной
- •35.1. Нормальная система дифференциальных уравнений
- •35.2. Решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •36.1. Особенности составления дифференциальных уравнений в прикладных задачах
- •36.2. Задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений
- •37.1. Определение ряда. Сходимость. Сумма ряда
- •37.2. Необходимый признак сходимости ряда
- •37.3. Достаточные признаки сходимости ряда
- •38.1. Достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов
- •38.2. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
- •39.1. Функциональные ряды
- •39.2. Степенные ряды
- •39.3. Теорема Абеля
- •40.1. Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора, Маклорена
- •40.2. Приложение рядов к приближенным вычислениям
- •41.1. Периодические функции
- •41.2. Определение ряда Фурье
- •41.3. Ряды Фурье четных и нечетных периодических функций с произвольным периодом
- •42.1. Множества
- •42.2. Подмножество
- •42.3. Операции над множествами
- •Свойства операций:
- •43.1. Общие понятия теории графов
- •43.2. Теорема Эйлера. Операции над графами
- •43.3. Способы задания графов
- •43.4. Комбинаторика как наука
- •43.5. Сочетания. Размещения. Перестановки
- •44.1. Развитие теории вероятностей как науки
- •44.2. Виды случайных событий
- •44.3. Классическое определение вероятности
- •44.4. Относительная частота
- •44.5. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий. Противоположные события
- •44.6. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей
- •44.7. Теорема сложения вероятностей для совместных событий
- •44.8. Формула полной вероятности. Формулы Байеса
- •45.1. Формула Бернулли
- •45.2. Наивероятнейшее число наступлений событий
- •45.3. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа
- •45.4. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых событий. Асимптотическая формула Пуассона
- •46.1. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •46.2. Формы задания законов распределения случайных величин: ряд распределения, функция распределения, плотность распределения
- •46.3. Свойства функции распределения и функции плотности распределения вероятности появления случайной величины
- •46.4. Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал
- •46.5. Числовые характеристики случайной величины.
- •47.1. Закон распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение дискретной случайной величины
- •47.2. Распределение Пуассона дискретной случайной величины. Простейший поток событий
- •47.3. Закон распределения непрерывной случайной величины. Равномерный закон распределения непрерывной случайной величины
- •47.4. Показательный закон распределения
- •47.5. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины
- •47.6. Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило трех сигм
- •48.1. Закон больших чисел и его практическое значение
- •48.2. Центральная предельная теорема Ляпунова
- •48.3. Применение закона больших чисел и центральной предельной теоремы
- •49.1. Генеральная и выборочная совокупности
- •49.2. Статистическое распределение выборки
- •49.3. Эмпирическая функция распределения
- •49.4. Полигон и гистограмма
- •50.1. Определение статистических оценок параметров распределения
- •50.2. Виды статистических оценок параметров распределения
- •50.3.Надежность статистических оценок параметров распределения.
- •51.1. Статистическая гипотеза
- •51.2. Статистический критерий
- •51.3. Критерий согласия Пирсона
- •51.4. Критерий Колмогорова
- •51.5. Критерий проверки гипотезы о равенстве дисперсий
- •51.6. Критерий сравнения двух выборочных средних
- •51.7. Критерий Вилкоксона проверки гипотезы об однородности двух выборок
- •52.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •52.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •53.1. Корреляционная зависимость
- •53.2. Линейная парная регрессия
- •53.3. Оценка значимости параметров связи
- •54.1. Понятие о нелинейной регрессии
- •54.2. Корреляционное отношение
- •54.3. Ранговая корреляция
- •Задания для практических занятий по материалу лекций
- •Словарь терминов и определений
- •Алфавитно-предметный указатель
- •Рекомендуемая литература
- •Критические точки распределения
- •Критические точки распределения Стьюдента
- •Критические точки распределения f Фишера-Снедекора
- •Критические точки критерия Вилкоксона
- •Оглавление
- •Бунтова Елена Вячеславовна математика
- •446442, Самарская обл., пгт. Усть-Кинельский, ул. Учебная, 2
- •443068, Г. Самара, ул. Песчаная, 1
37.2. Необходимый признак сходимости ряда
Нахождение n-й частичной суммы и ее предела для произвольного ряда во многих случаях является непростой задачей. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают специальные признаки сходимости. Первым из них являетсянеобходимый признак сходимости.
Если ряд сходится, то предел его общего члена приравен нулю, т.е.
Рассмотренная теорема выражает лишь необходимый, но недостаточный признак сходимости ряда. Если предел общего члена при равен нулю, то из этого не следует, что ряд сходится.
Следствием является достаточное условие расходимости ряда. Если
или этот предел не существует, то ряд расходится.
Рассмотрим пример. Выяснить вопрос о сходимости или расходимости ряда
Предел общего члена ряда
т.е. необходимый признак сходимости не выполняется, следовательно, ряд расходится.
37.3. Достаточные признаки сходимости ряда
Сходимость и расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью достаточных признаков сходимости ряда.
Рассмотрим эталонные ряды, которые часто используются при исследовании сходимости многих рядов.
Исследуем сходимость гармонического ряда
Гармонический ряд – это ряд, каждый член которого, начиная со второго, является средним гармоническим его соседних членов
Его частичная сумма
Пусть тогда
Таким образом,
Последовательность не ограничена сверху, а потому не может быть сходящейся, так как сходящаяся последовательность ограничена. Следовательно, ряд
расходится.
Гармонический ряд расходится очень «медленно». Л. Эйлер, например, вычислил, что
(Леонард Эйлер (1707-1783) – математик, физик, механик; родился в Швейцарии, большую часть жизни прожил в России и в Германии, активно участвовал во многих направлениях деятельности Петербургской и Берлинской академий.)
Рассмотрим пример. Ряд
называется обобщенно гармоническим. При это гармонический ряд, и его расходимость доказана. Покажем, что этот ряд расходится и при
Здесь
при любом Следовательно
и поэтому при данный ряд расходится. Итак,обобщенный гармонический ряд расходится при
При этот ряд сходится.
Рассмотрим пример. Исследуем на сходимость ряд
где действительное число
Преобразуем частичную сумму этого ряда следующим образом
Отсюда
Следовательно, ряд
сходится и его сумма равна
В частности, если
то
Признаки сравнения рядов.
Первый признак сравнения рядов. Пусть даны два ряда с положительными членами
причем члены первого ряда не превосходят членов второго ряда, т.е. при любом
Тогда, если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1); если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).
Эталонные ряды, часто используемые для сравнения:
геометрический ряд
который сходится при расходится при
гармонический ряд
который расходится;
обобщенный гармонический ряд
который сходится при и расходится при
Рассмотрим пример. Исследовать сходимость ряда
Сравним данный ряд со сходящимся геометрическим рядом
знаменатель, которого
Так как члены данного ряда, начиная со второго, меньше членов сходящегося геометрического ряда
то на основании признака сравнения исследуемый ряд сходится.
Нестандартность применения признака сравнения заключается в том, что надо не только подобрать соответствующий «эталонный ряд», но и доказать неравенство для чего часто требуется преобразование рядов.
В ряде случаев более простым оказывается предельный признак сравнения.
Если рассматривают
ряды с положительными членами, существует конечный предел отношения их общих членов
то ряды одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.
Рассмотрим пример. Исследовать сходимость ряда
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим
Так как
то данный ряд, так же как и гармонический, расходится.
Рассмотрим пример. Исследовать на сходимость ряд
Подберем подходящий для сравнения эталонный ряд. Рассмотрим поведение числителя и знаменателя общего члена при
Возьмем
и в качестве эталонного ряда рассмотрим обобщенный гармонический ряд
Найдем
Предел конечен и отличен от нуля, условие предельного признака сравнения выполнено, значит, исходный ряд по предельному признаку сравнения тоже расходится.
Рассмотрим пример. Выяснить вопрос о сходимости ряда
Ряд расходится, так как
и гармонический ряд расходится.
Рассмотрим пример. Исследовать на сходимость ряд
Так как предел отношения общих членов данного ряда и ряда
равен нулю
то по предельному признаку сравнения из сходимости ряда
следует сходимость исходного ряда.
Признак Даламбера. (Жан Лерон Ламбер (1717-1783) – один из самых разносторонних и влиятельных ученых Франции. Математик, физик, механик, а также автор ряда трудов по музыке и эстетике.)
Пусть для ряда с положительными членами
существует предел отношения го члена кму члену
где Тогда, еслиторяд сходится, если торяд расходится, если то вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Рассмотрим пример. Исследовать сходимость ряда
Данный ряд сходится, так как
Рассмотрим пример. Исследуем на сходимость ряд
Имеем
поэтому ряд сходится.
Рассмотрим пример. Исследовать сходимость ряда
Имеем
т.е. рассматриваемый ряд сходится.
Радикальный признак Коши. Признак Коши применяют для исследования знакоположительных рядов. Этот признак во многом схож с признаком Даламбера.
Пусть дан ряд
и существует конечный или бесконечный предел
Тогда ряд сходится при и расходится приВ случае, когдавопрос о сходимости ряда остается открытым.
Рассмотрим пример. Исследуем сходимость ряда
Имеем
Следовательно по признаку Коши ряд расходится.
Интегральный признак Коши. Если члены знакоположительного ряда
могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке функциитак, что
то:
если
сходится, то сходится и знакоположительный исследуемый ряд;
если
расходится, то расходится и знакоположительный исследуемый ряд.
Рассмотрим пример. Исследовать на сходимость ряд
Воспользуемся интегральным признаком Коши. Функция
удовлетворяет условиям интегральной теоремы Коши. Находим
Так как несобственный интеграл расходится, то и исследуемый ряд так же расходится.
Контрольные вопросы
Что называют числовым рядом?
Пояснить понятие суммы ряда.
Перечислить свойства сходящихся рядов.
Записать необходимое условие сходимости числовых рядов.
Сформулировать достаточные условия сходимости рядов с неотрицательными членами.
Лекция №38. Знакопеременные ряды
38.1. Достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов.
38.2. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов.