Примеры решения задачи 1

Пример 1. Сколько подмножеств множестваA={1, 2, ...., 1000} не содержат ни чисел кратных 8, ни чисел кратных 12 ?

Решение. Для произвольного действительного числаxобозначим через [x] его целую часть. (Например [2.5]=2, [1/2]=0, [3]=3.) Пусть 12A– подмножество множестваAсостоящее из чисел кратных 12,A\12AA– подмножество чисел не кратных 12. Элементы, не кратные ни 12 ни 8, составляют множество (A\12A)\8A. Нам нужно найти число подмножеств этого множества. Поскольку число элементов этого множества равно

|(A\12A)\8A|=|A\(12A8A)|=|A|-|12A8A |=

|A|-|12A|-|8A |+|НОК(12,8)A|=1000-[1000/12]-[1000/8]+[1000/24],

то количество его подмножеств равно

Ответ: .

Пример 2. Сколько подмножеств множестваA={1, 2, ...., 1000} содержат по крайней мере одно число кратное 8 и ни одного – кратного 12 ?

Решение. Пусть 12A– подмножество множестваAсостоящее из чисел кратных 12,A\12AA– подмножество чисел не кратных 12. Элементы, не кратные ни 12 ни 8, составляют множество (A\12A)\8A.

Каждое подмножество из A\12Aможет быть одного из следующих типов:

1. оно не содержит ни одного элемента кратного 8,

2. оно содержит хотя бы один элемент, кратный 8.

Отсюда количество подмножеств множества A\12Aравно сумме количеств подмножеств первого и второго типа. Подмножества первого типа – это в точности подмножества не содержащие ни элементов кратных 12, ни элементов, кратных 8. Нам нужно найти количество подмножеств второго типа.

Следовательно, искомое число равно

Ответ: .

Пример 3. Сколько подмножеств множестваA={1, 2, ...., 1000} содержат по крайней мере одно число кратное 8 или 12 ?

Решение. Каждое подмножество множестваAобладает одним из следующих взаимоисключающих свойств:

1. оно не содержит ни чисел кратных 8, ни чисел кратных 12,

2. оно содержит по крайней мере одно число, кратное 8 или 12.

Отсюда число подмножеств второго типа (которое как раз нам нужно найти) равно

Ответ: .

Задача 2. Найти число разложений заданного числа в сумму слагаемых. Разложения, отличающиеся перестановкой слагаемых, считаются различными.

Варианты заданий

1. Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 50.

2. Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 50.

3. Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 50.

4. Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 52.

5. Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 52.

6. Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 52.

7. Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 54.

8. Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 54.

9. Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 54.

10. Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 51.

11. Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 51.

12. Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 51.

13. Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 49.

14. Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 49.

15. Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 49.

16. Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 55.

17. Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 55.

18. Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 55.

19. Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 46.

20. Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 46.

21. Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 46.

22. Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 48.

23. Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 48.

24. Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 48.

25. Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 53.

26. Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 53.

27. Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 53.

28. Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 47.

29. Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 47.

30. Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 47.