2. Построение линий влияния усилий простой балки

Рассмотрим консольную балку, на которую действует подвижная нагрузка P=1 (рис. 5.2 а).

Рис. 5.2

1) Линии влияния опорных реакций

Сумма моментов в правой опоре:

M_B=−R_Al + 1 (l – x) = 0.

Отсюда R_A = .

Для построения графика этой функции найдем положение двух точек:

если x=0 , то R_A=1; если x=l , то R_A=0.

Через эти точки проводим прямую и строим ЛВ реакции R_A (рис. 5.2 б).

Для определения правой опорной реакции составим уравнение

M_A=R_Bl – 1 x = 0.

Отсюда R_B = .

Если x=0, то R_B=0; если x=l, то R_B=1. Через эти точки проводим прямую и строим ЛВ реакции R_B (рис. 5.2 в).

2) Линии влияния поперечной силы и момента

Они зависят от положения сечения, в котором определяются.

а) Единичная сила правее сечения К

В этом случае Q_K= R_A , M_K= R_Aa.

Эти функции определяют правые ветви ЛВ поперечной силы и момента в сечении К (рис. 5.2 г, д).

б) Единичная сила левее сечения К

В этом случае внутренние усилия определяем через правую опорную реакцию. Тогда Q_K=– R_B , M_K=R_Bb. Эти функции определяют левые ветви ЛВ поперечной силы и момента в сечении К (рис. 5.2 г, д).

Если сечение располагается на консольных (левой или правой) частях балки (рис. 5.3 а), ЛВ поперечной силы и момента будут совсем другими. Приведем результат их построения для двух сечений К₁ и К₂ (рис. 5.3 б-д).

Рис. 5.3

В некоторых расчетных схемах (например, в этажных схемах разрезной балки) встречаются консоли с заделками справа или слева. ЛВ их усилий можно получить и без расчетов, используя соответствующие левые и правые части предыдущих линий влияния (рис. 5.3 б-д), считая, что в точках А и В имеются заделки.

Полученные ЛВ опорных реакций и внутренних усилий используются как известные решения при расчете аналогичных балок и как промежуточные решения при расчете многопролетных балок.

3. Построение лв при узловой передаче нагрузки

В некоторых сооружениях нагрузка на их несущую часть может передаваться через вспомогательные балки. Например, такая конструктивная схема часто используется в мостах: там на главную балку накладываются поперечные балки, а на них – настил (рис. 5.4 а). В таких сооружениях нагрузка на главные балки передается через узлы пересечения главной балки с поперечными балками.

Рис. 5.4

Если бы нагрузка действовала только на главную балку, ЛВ момента M_K была бы как на рис. 5.4 б. Поэтому, когда единичная сила находится над поперечными балками, ординаты ЛВ будут такими же. Но, когда единичная сила находится между поперечными балками, ЛВ сглаживается (рис. 5.4 в).

4. Определение усилий по лв

Пусть ЛВ какого-то усилия S определяется уравнением y=f(x). По этому графику можно определять усилие S от произвольной нагрузки.

Действие сосредоточенной силы (рис. 5.5 а). Если система упругая, то внутреннее усилие прямо пропор-ционально нагрузке. Поэтому S=Py. Если же действует несколько сил, то внутреннее усилие определяется по принципу суперпозиции:

S= P_i y_i .

Действие распределенной нагруз-ки (рис. 5.5 б). Если рассматривать элементарную силу q(x)dx как сосредоточенную силу, то

Рис. 5.5 S=.

Когда же распределенная нагрузка постоянна, т.е. q(x)=q=const, то

S=q.

Здесь  – площадь ЛВ в области действия распределенной нагрузки.

Если на сооружение действует несколько сосредоточенных сил и распределенных нагрузок, то по принципу суперпозиции

S= P_i y_i+ q_j ω_j .