sb_zad_VM_all

2.2. Скалярное произведение векторов

1. Упростите выражение 2i j j j 2k k i 2k 2 .

2. Найдите углы треугольника с вершинами А(2;-1;3), В(1;1;1),

С(0;0;5) и проекцию AB на BC .

3. При каком значении m векторы a mi 3 j k и b 2i j mk

перпендикулярны?

4. Найдите угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a=(2;1;0) и b=(0;-2;1).

4 ,

5.

Найдите

3

a

2b

5

a

6b

, если

a

b

6 ,

a

,b

3

.

a

3 ,

6.

Найдите

длину

вектора

c 3a

2b ,

если

b

4 ,

a,b 120 .

7.

Найдите

проекцию

вектора

a

c

на

вектор b

c

, если

a 3i

6 j k , b

i

4 j 5k , c 3i

4 j 2k .

8. Даны векторы a

(1;1;

1) ,

b

(3; 1;

5) ,

c

(

2;3;4) .

Найдите вектор

, если известно, что x

a ,

x

b и x c

1 .

x

3 2

Ответы. 1. 2. 2. B=C=45 ;

. 3.

3.

4.

90 .

5. -96. 6.

73 . 7.

2

5

. 8. ( 3;-1;2) .

89

2.3.Векторное произведение векторов

1.Упростите выражения:

а) i (2 j 3k ) k (3i 2 j) (i 3 j 4k ) j ;

б) (a b c ) c (a b c ) b (b c ) a ;

в) (2a b ) (c a ) (b c ) (a b ) ;

г) 2i ( j k ) 3 j (i k ) 4k (i j) .

2. Дан треугольник с вершинами А(1;-2;8), В(0;0;4), С(6;2;0). Найдите его площадь и высоту ВD.

11

3.

Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах

a

m

2n

и b

2m

n , где

m

и

n - единичные векторы,

образую-

щие угол 30 .

4.

Найдите

, если

a

10 ,

3 ,

18 .

a

b

b

a b

5.

Даны точки А(-3;1;2), В(4;0;-1), С(-2;3;0).

Найдите (2 AB

3BC )

CA .

6.

Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах

a

( 1;3;5) и b

(2; 1;3) .

7.

Найдите площадь параллелограмма, диагоналями которого слу-

n

1 ,

,

45 .

жат векторы 2m

n и 4m

5n , где

m

m

n

2

21

Ответы. 1. а)

6i

3k ;

б)

2a

c; в)

a

c ; г) 3. 2. 7

5;

. 3.

3

1,5 4. 24. 5. (-40;-55;-75). 6.

390 . 7. 1,5

2 .

2.4. Смешанное произведение векторов

1.

Найдите

смешанное

произведение

векторов

a

i

j

k ,

b

i

j

k , c

2i

3 j

4k

. Правой

или

левой

является

тройка

, b ,

?

a

c

2.

Покажите,

что

векторы

a

(7;

3;2) ,

b

(3;

7;8) , c

(1;

1;1)

компланарны.

3.Покажите, что точки А(5;7;-2), B(3;1;-1), С(9;4;-4) и D(1;5;0) ле-

жат в одной плоскости.

4.Дана пирамида с вершинами О(0;0;0), А(5;2;0), В(2;5;0) и С(1;2;4). Найдите еѐ объем, площадь грани АВС и длину высоты, опущенной на эту грань.

5.

Найдите

объѐм

параллелепипеда,

построенного на векторах

a 3i

4 j , b

3 j k ,

c 2 j 5k . Правой или левой является тройка

, b ,

?

a

c

Ответы. 1. 4; правая. 4. V = 14; H

7

3

. 5. 51; левая.

3

12

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

3.1.Прямая на плоскости

1.Составьте уравнение прямой, проходящей через точку К(-3;1) параллельно вектору a = (4;-1). Найдите угловой коэффициент

этой прямой и точки ее пересечения с осями координат. Лежат ли на ней точки А(-3;1) и В(5;-1)?

2. Дана прямая х-3у+6=0. Найдите: а) ее угловой коэффициент, б) ее нормальный вектор, в) точки пересечения с осями координат, г) площадь треугольника, заключенного между этой прямой и осями координат, д) точку пересечения этой прямой с прямой 5х-2у-9=0.

3. Среди прямых: а) 4х-2у+3=0, б) х+2у-7=0, в) у=2х+5,

	г) 5х+10у+1=0, д) у=	1	х, е) -6х+3у+5=0 укажите параллельные и пер-
		2

пендикулярные.

4.Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(2;5) и отсекающей на оси ординат отрезок в = 7.

5.Найдите прямую, проходящую через точку пересечения прямых х+2у+1=0, 2х+у+2=0 и образующую угол 135о с осью Ох.

6.Даны сторона прямоугольника 3x­4у+5=0 и две его вершины А(1;-3) и С(1;2). Составьте уравнения остальных сторон.

7.Составьте уравнения прямых, проходящих через точку пересечения прямых 2х-у-5=0 и 3х+2у+3=0 а) параллельно оси Ох; б) параллельные оси Оу; в) параллельно прямой 5х-2у+3=0; г) перпендикулярно пря-

мой 7х+3у-1=0.

8.Найдите точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника с вершинами А(-4;2), В(2;-5), С(5;0).

9.В треугольнике с вершинами А(0;-4), В(3;0), С(0;6) составьте уравнения стороны АВ, высоты СН, медианы BM, биссектрисы AK, найдите длину высоты CH и расстояние от вершины С до биссектрисы АК.

10.Составьте уравнения сторон треугольника, зная его вершину А(0;2) и уравнения высот х + у = 4 и у = 2х.

11. Найдите проекцию В точки А (5; 7) на прямую х+2у-4=0 и точку С, симметричную точке А относительно данной прямой.

12.Составьте уравнения биссектрис углов между прямыми

3х+4у-20=0 и 8х+6у-5=0.

13.Найдите расстояние от точки М(2:-1) до прямой, отсекающей на осях координат отрезки а = 8, в = 6.

13

14.При каком значении m прямые 7х-2у-5=0, х+7у-8=0 и mх+mу-8=0 пересекаются в одной точке?

15.Постройте треугольник со сторонами x+y-4=0, 3x-y=0, x-3y-8=0. Найдите его углы и площадь.

	Ответы. 1. х+4у-1=0; k=-	1	;	0;	1	, (1;0); да. 2. а)	1	; б) (1; 3); в)
		4			4		3

(0;2), (-6;0); г) 6; д) (3;3). 3. параллельны а,в,е; б,г,д; перпендикулярны а,г; в,б 4. х+у-7=0. 5. х+у+1=0. 6. 3х-4у-15=0, 4х+3у+5=0, 4х+3у-10=0. 7. а) у=-3, б) х=1, в) 5х-2у-11=0, г) 3х-7у-24=0. 8. (1;-1), ( 83 ;-2). 9. АВ: 4х-3у-12=0; СН: 3х+4у-24=0; ВМ: х+3у-3=0; АК: 3х-у-4=0; СН=6;

	10 .	10. х-у+2=0, х+2у-4=0;	2х+у-8=0.	11. В(2;1), С(-1;-5).
	12. 14х+14у-45=0, 2х-2у+35=0. 13.		4,4. 14. 4.	15. tgА=	4	, tgB=tgC=2,
					3
	S=16.

3.2.Кривые второго порядка

1.Найдите центр и радиус окружности, проходящей через точки А(-1;5), В(-2;-2), С(5;5).

2.Дана точка А(-4; 6). Составьте уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок ОА.

3.Составьте уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку А(1;2).

4.Составьте уравнение окружности, проходящей через точки А(7;7) и В(-2;4), если ее центр лежит на прямой 2х-у-2=0.

5.Составьте уравнения касательных к окружности (х-3)2+(у+2)2=25, проведенных в точках пересечения ее с прямой х-у+2=0.

6.Постройте эллипс х2+4у2=16, найдите его фокусы и эксцентриси-

тет.

7.Запишите каноническое уравнение эллипса, зная, что а) расстоя-

ние между фокусами равно 8, а малая полуось в=3; б) большая полуось а=6, а эксцентриситет =0,5.

8.Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит

через точки М(2; 3 ) и В(0;2). Напишите его уравнение и найдите расстояние точки М от фокусов.

9. Эллипс, отнесенный к осям, проходит через точку М(1;1) и имеет эксцентриситет = 53 . Составьте уравнение эллипса.

14

10.Составьте уравнение эллипса, у которого длина большой оси равна 2, а фокусы F1(0;0) и F2(1;1).

11.Постройте гиперболу х2-4у2=18 и ее асимптоты. Найдите фокусы, эксцентриситет и угол между асимптотами.

12.Составьте каноническое уравнение гиперболы, зная, что а) расстояние между фокусами равно 10, а между вершинами 8; б) действи-

тельная полуось равна 25 , а эксцентриситет 1,2 .

13.Напишите каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояния одной из ее вершин от фокусов равны 9 и 1.

14.Докажите, что длина перпендикуляра, опущенного из фокуса на одну из асимптот гиперболы, равна мнимой полуоси.

15.Дан эллипс 9х2+25у2=1. Напишите уравнение софокусной равнобочной гиперболы.

16.Определите траекторию точки М, которая движется так, что ос-

тается вдвое дальше от точки F(-8;0), чем от прямой x= 2.

17.Постройте параболы, заданные уравнениями: а) у2=4х, б) у2=-4х, в) х2=4у, г) x2=-4y, а также их фокусы и директрисы. Запишите уравнения директрис.

18.Напишите уравнение окружности, имеющей центр в фокусе параболы у2=8х и касающейся ее директрисы. Найдите точки пересечения параболы и окружности.

19.Составьте уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F(2;0) и от прямой у = 2. Найдите вершину параболы, точки пересечения ее с Ох, постройте ее.

20.Используя параллельный перенос осей координат, приведите уравнения к каноническому виду; постройте кривые:

а) 2х2+5у2 -12х+10у+13=0;

б) х2-у2+6х+4у-4=0;

в) у2+4у=2х; г) 36х2+36у2-36х-24у-23=0;

д) 16х2+25у2-32х+50у-359=0;

е) 14 х2- 91 у2 -х+ 23 у-1=0;

ж) х2+4у2-4х 8у+8=0;

з) х2+4у2+8у+5=0; и) х2-у2-6х+9=0;

к) 2х2-4х+2у-3=0;

л) х2-6х+8=0; м) х2+2х+5=0.

15

21. Дайте геометрическую иллюстрацию системы неравенств:

	x2		y2	9,			x2	y2	16,
а)	x		0,			б)
							x	2;
	y		0;
в)	(x		2)2	( y	3)2 25,	г) x2		4 y2	9	2x,
	x		2;				2x	y	2;
	x2		y 2	7 6 y,			y x2		4x,
д) x y 2 0,						е) x y 2,
	x		2;				x	y 4.
	Ответы. 1.				(2;1); 5.	2. х2+у2+4х-6у=0.			3.	(х-1)2+(у-1)2=1 или

(х-5)2+(у-5)2=25. 4. (х-3)2+(у-4)2=25. 5. 3х-4у+8=0, 4х-3у+7=0 6. а=4, в=2,

																			3															x2			y2												x2						y2						x2									y2
		3 ,
с=2											=												.		7.				а)						+			=1;						б)							+						=1.	8.							+						=1,
															2													25									9											36					27							16									4
																																																																	5
r=4 3 . 9. 16х2+25у2=41. 10. 3х2+3у2-2ху-2х-2у-1=0. 11.																																																												=									; 53о8'.
																																																														2
							x2						y		2															x2				y2										x	2				y2									x2				y2
12.	а)										-								=1,							б)						-				=1 13.											-					=1				или				-						=1. 15.
						16						9																20						4									16					9										9				16
2 2			8																		x2						y2												2		2																			x2
х -у =											. 16.														-						=1. 18. (х-2)									+у			=16; (2;										4). 19. у=х-												; О1(2;1).
			225																16							48																																		4
20. а)					X 2							+	Y 2						=1, О1(3;-1); б) X2-Y2=9, О1(-3;2); в) Y2=2X; г) X2+Y2=1,
			5									2
О1(	1	;			1	);					д)								X 2						+		Y	2			=1,			О1(1;-1); е)												X		2		-		Y 2				=1, О1(2;3); ж) точка
	2		3																25							16																			4						9
(2;1); з)								X			2	+				Y					2		=-1 (мнимый эллипс), и) Y=																														X (пара пересекающих-
						1													1
																			4
ся прямых), О1(3;0); к) X2=–Y, О1(1;																																									5	); л) прямые х=2, х=4; м)																												(мни-
																																									2
мые прямые).
												3.3. Прямая и плоскость в пространстве
	1.					Постройте																				плоскости:											а)				4х+2у+3z-12=0; б)																	5х-у+2z-10=0;
в) 3х+у-2z=0; г) 2х-3z-6=0; д) 3у-z=0; е) 3х-5=0.

16

2. Даны точки М1(0;-1;3) и М2(1;3;5). Составьте уравнения: а) прямой М1М2; б) плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно М1М2.

3.Найдите уравнение плоскости, проходящей через начало координат параллельно плоскости 3х-2у+z+7=0.

4.Найдите уравнение плоскости, проходящей а) через точки Р(4;-2;1), Q(2;4;-3) и начало координат; б) через ось Оу и точку (4;0;3);

в) через точку М(0;2;1) параллельно векторам a =(1;1;1) и b =(1;1;-1).

5. Какой угол образует плоскость х+у+2z-4=0 а) с вектором

			x 1		=	y	3	=	z
	a =(1;2;1); б) с прямой									; в) с плоскостью 3х-у+3z-5=0;
			2				1	3

г) с плоскостью 2х-z+3=0; д) с плоскостью 2х+2у+4z+5=0.

6.Найдите расстояние плоскости х-2у-2z+4=0 а) от точки А(5;1;-1); б) от плоскости 2х-4у-4z+5=0.

7.Составьте канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через начало координат а) перпендикулярно плоскости

3х-5у+2z-3=0; б) параллельно прямой

x

4

=

y

2

=

z

.

2

1

5

8. Составьте канонические и параметрические уравнения прямых,

заданных общими уравнениями

x

y

z

4

0,

и

x

y

z

4

0,

2x y 2z 5 0

2x 3y z 6 0.

Найдите угол между этими прямыми.

9. Покажите, что прямые

x

=

y

=

z

и

x

z

1,

перпендикулярны.

2

3

1

y

1

z

10. Составьте уравнения прямой, проходящей через точку (-4;3;0)

параллельно прямой

x

2 y z 4 0,

2x

y

z

0.

11. Покажите, что прямая

x

1

=

y

1

=

z

3

параллельна плоско-

2

1

3

сти 2х+у-z=0, а прямая

x

1

=

y

1

=

z

3

лежит в этой плоскости.

2

1

3

12.

Найдите

точку

пересечения

прямой

и плоскости:

а)

x 1

=

y

2

=

z

и 3х-у+4z-24=0; б)

x

2

=

y

1

=

z

3

и х-2у+z-5=0.

2

1

3

3

2

1

13. Найдите точку, симметричную точке М(1;1;1) относительно

прямой

x

1

=

y

=

z

1

.

2

3

1

17

14. Найдите точку, симметричную точке М(1;1;1) относительно плоскости х+у-2z-6=0.

	15. Покажите, что прямые																x			z		2,		и	x	2	=		y		4			=		z		2					пересе-
																	y			2z		1				3					1			1
каются, и составьте уравнение плоскости, в которой они расположены.
	Ответы.				2.			а)			x	=		y	1		=	z		3	;	б) х+4у+2z-2=0.												3. 3х-2у+z=0.
											1
															4		2
4. а) х+7у+10z=0; б) 3х-4z=0; в) х-у+2=0. 5. а) arcsin																														5		; б) arcsin													7				;
																										6																	2		21
в) arccos		8				; г) 90о; д) 0о. 6. а)														3;		б)		0,5.		7. а)			x		=			y		=			z	;				x		3t ,
		114																								3								5				2
y	5t,		z		2t ;			б)				x			y			z	;		x		2t, y			t, z					5t .			8.					arccos							11		.
											2				1		5																												26
10.	x 4			y	3				z	.	12.				а)		(3;-3;3);							б)(1;-1;2).							13.			(			9	;			4		;		22			).
	1	3						5																										7				7							7

14. (3;3;-3). 15. х+2у-5z=0.

18

Глава 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

4.1. Предел функции

Найдите следующие пределы:

1.

а)

lim

x2

3

;

б)

lim arcsin x ;

в)

lim

x2

2x

2

;

4

2

x

1

2

x

3

x

x

1

2

x

1

x

1

5x

2

3x

д)

lim

2

;

е)

lim

x2

;

г)

lim

;

1

tg 3x

3

2

3x

x

4

x

0

x

0

x2

x 0

e

1

ln x

1

8

и)

lim

.

ж)

lim

x3

;

з)

lim

;

x

3

x

ctg (2x

4)

x

2

x

0

x

2

2.

а)

в)

д)

ж)

и)

л)

а)

в)

д)

lim

3x2

2x

1

;

x

2

7x

3

x

lim

x2

3x

4

;

x

5

x

3

2x

x

lim

2x4

5x3

7x2

8x 9

;

3x

5

6x

3

4x

2

11

x

lim

6x

5

;

1

x

2

3

x

lim

3

x6

x

2

5

;

9x

4

2x

3

x

lim

1

3

5

...

(2n

1)

;

1

2

3

... n

x

3.

lim

x5

5x3

x

2

;

x

2

x

x 0

lim

x2

8x

12

;

x

2

7x

6

x 6

lim

3x2

7x

2

;

4x

2

5x

6

x 2

б)

lim

4x4

3x2 1

;

2x

3

x

3

x

г)

lim

10x3

6x2

7x 5

;

8

4x

3x

2

2x

3

x

е)

lim

4n2

3

;

2n

1

n

з)

lim

3

x2

1

;

x

1

x

к)

lim

1

2

3

...

n

;

n

2

1

x

2x2

1

м)

lim

3 x .

1

x

2

x

б)

lim

x2

1

;

x

2

2x

3

x

1

г)

lim

3x2

x

2

;

4x

2

5x

1

x

1

е)

lim

x2

7x

12

;

x

2

6x

5

x

5

19

ж)

lim

x3

3x

2

;

з)

x

4

4x

3

x

1

и)

lim

3x4

2x3

x

2 5x 5

;

к)

x

3

1

x

1

л)

lim

x3

x2

5x

33

.

x

2

2x

15

x

3

4.

а)

lim

x2

25

;

б)

2

x

1

x

5

в)

lim

1

x

1

x

;

г)

x

x

0

д)

lim

x2

3x

3

1

;

е)

x

2

4

3x

x

1

ж)

lim

x

8

;

з)

3 x

2

x

8

и)

lim

3 1

x

1

;

к)

1

x

1

x

0

5.

lim			x2		6x		8		;
				x		4
x	4
lim				x4		3x2			4		;
			x	3	x	2	x			2
x	2

lim			x2		9			;
			x 1				2
x 3

lim		2x		3			1		;
			x	7			3
x 2
lim				x				;
	3 1			x
x 0							1

lim			1		x		3	;
			2		3
x	8					x
		4
lim				x	1	.
		3
				x	1
x	1

а)

lim (

x2

6x

5 x) ;

б)

lim (

x2

5x 4

x2 x ) ;

x

x

в)

lim

1

6

;

г)

lim

1

8

.

x 3

x

2

9

x 4

16 x

2

x 3

x

4

6.

а)

lim

sin 5x

;

б)

lim

sin 6x

;

3x

x 0

x

0

tgx

в)

lim

5x

;

г)

lim

arcsin x

;

tg 2x

arctg3x

x 0

x

0

д)

lim

1

cos 5x

;

е)

lim

tgx

sin x

;

1

cos 3x

sin

3

x

x 0

x

0

ж)

lim

sin x

;

з)

lim x sin

1

;

x

9 3

x 0

x

x

и)

lim

sin(x

1)

;

к)

lim

1

cos 4x

;

x

3

1

x

sin x

x 1

x

0

20