sb_zad_VM_all

sin 3x

л)

lim

;

м)

lim

1

tgx

1

tgx

;

sin 5x

sin 2x

x

x

н)

lim

arcsin(1

2x)

;

о)

lim

cos x

;

4x

2

1

2x

x

1

x

2

2

п)

lim

sin x

cos x

.

x

4x

4

7.

x

1

x

1

а)

lim

;

б)

lim (1

3x) x

;

x

3

x

x

0

2

3n

1

в)

lim

1

;

г)

lim (1

sin x) x

;

n

n

x

0

д)

lim

2x

1

x2

;

е)

lim

sin 3x

x 2

;

x

3x

4

x

x

0

1

1

ж)

lim (4

x) x2

9 ;

з)

lim (cos x) x ;

x

3

x

0

и)

lim

5x

1

x

;

к)

lim

x2

3x

1 x

.

3x

2

x

2

x

2

x

x

8.

а)

lim

ln(1

4x)

;

б) lim x(ln(x

1)

ln x) ;

x

0

x

x

в)

lim

e x

1

;

г)

lim

sin 2 3x

;

ln

2

(1 2x)

3x

x 0

x 0

д)

lim

e2 x

1

;

е)

lim

ln cos x

;

ln(1 x

2

ln(1

x

0

4x)

x

0

)

ж)

lim

sin(ex

1

1)

.

ln x

x

1

Ответы. 1.

а) 0; б)

; в)

; г) 0;

д)

; е) 0; ж)

1

; з)

; и) 0.

6

8

2. а) 3; б)

; в) 0; г) –5; д) 0; е) 1; ж) 6; з) 0; и)

1

; к)

1

; л) 2; м) –1.

3

2

21

	3. а) 0; б)	1	; в)	4	; г)	5	; д)		5	; е)	; ж)	1	; з) 2; и)	1	; к) –	20	; л)
		2		5		3		11				2		3		7

4.а) –40; б) 24; в) 1; г) 6; д) – 12 ; е) 3; ж) 12; з) –2; и) 23 ; к) 43 .

5.а) 3; б) 2; в) 16 ; г) – 18 .

6. а)		5		; б) 6; в)					5		; г)				1		; д)						25	; е)				1		; ж) 6; з) 1; и)	1	; к) 8; л)
		3						2						3								9					2				3
	1				1			1
м) –			; н) –			; о)					; п) –						2			.
2					2			2									4
																													1
7. а) е 4 ; б) е						3 ; в) е 6 ; г) е; д) 0; е) 9; ж) е																								6 ; з) 1; и) + ;0; к) е 4 .
8. а) 4; б) 1; в) –							1	; г)				9		д) –					1			; е) –			1		; ж) 1.
						3					4						2					2

134 .

53 ;

4.2. Непрерывность функции

Исследуйте непрерывность функции, найдите точки разрыва, укажите характер разрыва, постройте график функции в окрестности точки разрыва.

1.	y	8					.						2.	y		sin x				.
				x	4
																	x
3.	y			x	3		.						4.	y					x	3					.
				x2	1											x2				4x 3
5.	y			sin x					1		.		6.	y			x			.
				x2		x			7							sin x
7.	y			x	2			.								x	2			2x			3
													8.	y												.
				x	2
																			x	1
9.	y		x		x				3	.			10.	y	arctg					1				.
					x				3
																				1			x
																	1
						1							12.		2		x			1		.
11.	y	1 2 x .												y
																	1
																2 x				1
13.	y			x3			1,				x	0,	14.	y		x				3,			x				0,
					2,						x	0.				x				2,				x			0.

22

1

,

x

3,

x2

9

,

x

3,

x

3

15.

y

x

3

16.

y

x

2

,

3

x 1,

6,

x

3.

3x

2,

x

1.

x2

4,

x

2,

x

1,

2

x

0,

17.

y

x2

1,

0

x

3,

x

,

x

3.

x

3

Ответы. 1.

x

4

– точка разрыва II рода. 2.

x

0 – точка устра-

нимого разрыва. 3. Функция непрерывна. 4.

x

3

– точка устранимого

разрыва;

x

1

–

точка

разрыва

II

рода.

5.

Функция

непрерывна.

6. x

0 – точка устранимого разрыва,

x

n (n

Z, n

0)

– точки раз-

рыва II рода. 7.

x

2 – точка разрыва I рода. 8.

x

1 – точка устрани-

мого разрыва. 9.

x

3 – точка разрыва I рода. 10.

x

1 – точка разры-

ва I рода. 11.

x

0

– точка разрыва II рода. 12.

x

0

– точка разрыва

I рода. 13. x

0 – точка устранимого разрыва. 14.

x

0 – точка разрыва

I рода. 15. Функция непрерывна. 16.

x

3

–

точка разрыва II рода.

17.

x

2 – точка разрыва I рода, x

3 – точка разрыва II рода.

23

Глава 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

5.1. Дифференцирование функций

Найдите производные функций:

1.	y	1	x5		2x	4		2		x3		3		x2	4x 5 .	2.	y		1		1		1		.
																			2x2			3x3		5x5
		5				3				2
	y 44 x3				33 x2											4.	y				ln 2 .
3.										2 x .
																			x

5.y x2 cos x .

7.	y	sin x			cos x					.
		sin x			cos x
9.	y	x3 ln x					x3		.
				3
11.	y	1 x2			arctg x x						.
				2
13.	y	cos(3 4x) .
15.	y	sin 4 x			cos 4 x .
17.	y	2x2		7 3 .
19.	y	sin2 x		.
		cos x
21.	y	ln x2			5x 6 .
23.	y	ln 2 x .
25.	y	esin 2 x .
27.	y	arcsin 2x .
29.	y	arctg			x .
31.	y	arccos				x .
33.	y	arctg ln x .
35.	y	tg2 5x .

6.

y

ax

b

.

ax

b

8.

y

2t sin t

(t 2 2) cos t .

x5

10.

y

.

ex

12.

y

sin

x

.

2

14.

y

cos3 x .

16.

y

x4

2x

3 .

18.

y

ctg3 x

3 ctg x 3x .

20.

y

cos 2 x2 .

22.

y

ln ln x .

sin

x

24.

y

a

4 .

26.

y

ecos2 x .

28.

y

arcsin

1

.

x2

30.

y

arctg

1

.

x

32.

y

arctg

4x

1 .

34.

y

1

.

ln 2 x

36.

y

5e x2 .

24

37.	y	lg sin x .
39.	y	3	a		bx3 .
		3
41.	z		y			y .
				ex		e x
43.	y	ln							.
				ex		e x

38.	y		3		2x2		4 .
40.	y		3		2 sin x 5 .
42.	y				1		1				.
			3 cos3 x					cos x
						5 tg			x		4
			2
44.	y			arctg			2					.
			3				3

45. y	1	lntg	x		cos x	.	46. y ln	1	sin x	2 arctg		.
											sin x
	2	2			2 sin 2 x		1		sin x

Найдите производные степенно-показательных функций:

47.	y	xcos x .				48.	y	sin x x .
49.	y	x x .				50.	y	x x .
51.	y	arctg x x .				52.	y	cos x sin x .
	Найдите производные функций, заданных неявно:
53.	x3	y3			a3 .	54.	xy	tg y .
55.	e y	x			y .	56.	y	0,3sin y x .

	57.	xy	arctg			x	.
						y
		Найдите производные
	чески:
	59.	x	ln t,
		y	t 3 .
	61.	x	arcsin t,
		y	1		t 2 .
	63.	x	cos 2t,
		y	sin 2 t.

				58.					x y y x .
	dy	и	d 2 y					функций, заданных параметри-
	dx		dx2
60.		x		arctg t,
		y		ln 1					t 2 .
62.		x		a cos3 t,
		y		a sin3 t.
		x		arctg t,
64.		y			1		t 2 .
				2

	Найдите n-ю производную от функций:
65.	y	e 3 x .			66.	y	ln 1 x .
67.	y	1		.	68.	y	sin x .
			1 x

25

69. Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно

	вычислите: а)									arctg1,05 ;								б) e0,2 ;
			Ответы.									1.			x4	8x3		2x2 3x	4 .
	3.	3				2				1				.	4.		.	5. x(2 cos x
																x2
		4 x				3 x					x
	7.					2						. 8.			t 2 sin t . 9.			3x2 ln x .	10.
		sin x				cos x 2

в) ln1,01 .

2.			1			1		1			.
				x3			x4		x6
							2ab
x sin x) .			6.							.
						ax		b 2
	5x4 x5	.	11.				x arctg x .
	ex

12.

16.

20.

24.

28.

32.

36.

40.

43.

47.

49.

51.

1	cos	x		.	13.			4 sin(3		4x) .		14.			3cos2 xsin x .				15.	sin 4x .
2	2
	2x3		1				.	17. 12x 2x2			7	2	. 18.		3 ctg4 x .		19.		sin x(sec2 x 1) .
	x4		2x		3
	2x sin 2x2 .							21.		2x	5			.	22.		1	.	23.		2 ln x	.
										x2 5x		6				x ln x					x

	1	asin				x					x
														ln a .		25. 2 cos 2xesin 2x .
					4			cos																26.
	4									4
					2						.				29.	1							.	30.
			x		x4				1									2 x (x 1)
					1								.		33.	1						. 34.
																	x(1 ln 2
	2			4x3					x2												x)

sin 2xe			cos 2	x	. 27.					2						.
					1					4x2
1		.		31.						1					.
	x2 1
									x		x	2

2. 35. 10 tg 5x sec2 5x .

xln 3 x

				x	2																				3															bx		2
	10xe					.			37.	ctg x lg e .					38.			16x 3					2x2 .									39.																.
																																	3						a		bx3 2
																		1			2			y																			3
	10cos x 3								2sin x 4 .				41.																		.		42.								sin x					.
																												2													cos4 x
																		6 y 3			y					y
4							.		44.				1			.		45.					1				.					46.								2							.
e 2 x				e2 x						5				4 sin x								sin 3 x														cos x
																																										sin x
xcos x				sin x ln x						cos x				.				48.								sin x x ln sin x														x ctg x .
											x
x x 1 ln x .															50.																							1			1 ln x .
																																x	x	2
																																	1
				x2																																				2
arctg x x lnarctg x														x			.
										1			x2 arctg x

26

52. cos x				sin x		cos x ln cos x							sin x tg x .					53.						x2		. 54.							y cos2 y			.
																								y 2							1		x cos2 y
55.			1				1				.		56.					10			.				57.			y			1			x2	y2		.
		e y																																x2	y2
			1		x			y	1							10		3cos y										x			1
		x ln y y					y					9t3 . 60. 2t 2																					1
58.								. 59.										2 . 61.				1 t 2 . 62.														.
																													3a cos 4 t sin t
		y ln x		x			x
63.		0 .		64.				1 t			2	1 3t			2	. 65.		3	n	e		3x		.	66.			1				n	1 n		1 !	.
																																		1	x n
67.			1 n	1 n!		. 68.			sin			x	n			. 69. а) 0,81; б) 1,2; в) 0,01.
				n 1
		1	x										2

5.2. Правило Лопиталя-Бернулли

	Вычислите пределы, используя правило Лопиталя-Бернулли:
					3x2							3x			1											e x
1.	lim															.			2.	lim									.
				2						x x					2											x		5
	x																			x
3.	lim							x3				3x		2		20	.		4.	lim			tg x									sin x								.
									x2																	x				sin x
	x			2										2x						x 0
5.	lim							tg x			.								6.	lim			sin x									e2 x x									.
	x						tg3x													x 0						5x				2					x			3
		2
7.	lim						ln x			.									8.	lim					1									1				.
	x x4																			x 0					x					sin x
9.	lim ln x ln x 1 .																		10.	lim						x								1							.
	x	1																							x 1										ln x
																				x 1
				1												5			12.	lim					1						x							.
11.	lim																	.
																																			x
								x	3					x2		x 6				x 1 1								sin
	x	3
																																		2

	13. lim 1	x tg	x	.
			2
	x 1

15.lim x x .

x 0

1

14. lim x x .

x

	16. lim	1	tgx .
		x
	x 0

27

												1
17.	lim ctg x			sinx	.			sin x				1 cos x
							18. lim				.
	x		0
							x 0 x
	Ответы. 1. –3. 2. . 3. –12. 4. 3. 5. 3. 6.								2		. 7. 0. 8. 0. 9. 0. 10.						1	.
									5								2
11.	1		. 12. . 13.			2	. 14. 1. 15. 1. 16. 1. 17. 1. 18.				1				.
	5										3 e

5.3.Исследование функций с помощью производных

1.Определите промежутки возрастания и убывания функций:

а)	y 1 4x x2 ;			б) y x2 x 3 ;
в)	y	x	;	г) y x ln x .
		x 2

2. Исследуйте на экстремум функции:

а)	y	x3	3x2 3x 2 ;
в)	y	x 2e	x ;

3. Найдите интервалы функций:

а)	y	x3 6x2 12x 4 ;
в)	y	x2 ln x ;

б)	y				4			;
					x2	8
г)	y	x			arctg x .
вогнутости						и точки перегиба графиков
б)	y	3 4x3				12x ;
г)	y	1			x2 e x .

4. Найдите асимптоты кривых:

а)

y

x

;

б)

y

x2

1

;

x2

4x

3

x2

1

в)

y

1

;

г) y ln 1 x .

1 ex

5. Исследуйте функции и постройте их графики:

а) y x

3

3x

2

;

б)

y

x2

2x 2

;

x

1

г)

y

2x tg x .

в)

y

3

1

x

3

;

6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функций на ука-

занных отрезках:

4

2

4

x2

а)

y

x

2x

3,

2;1 ;

б) y

1;3 ; в) y

3

2

4

x2 ,

2x 1, 2;1 .

28

7.Из прямоугольников, у которых сумма трех сторон равна 100, выберите тот, который имеет наибольшую площадь.

8.Определите размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом V так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

9.Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Определите размеры окна при заданном периметре, имеющего наибольшую площадь.

10.В шар радиуса R вписан цилиндр наибольшего объема. Найдите этот объем.

Ответы. 1. а)

;

2

– возрастает,

2;

– убывает; б)

;0

и

2;

– возрастает,

0;2

– убывает; в)

;2

и

2;

– убывает;

г)

0;

1

– убывает,

1

;

–

возрастает.

2.

а)

экстремумов

нет;

e

e

б)

при

x

0 ;

в)

ymin

0

при

x

0

, ymax

4

при

x

2 ;

ymax

2

e2

г) экстремумов нет. 3. а)

;2

–

выпуклый,

2;

–

вогнутый,

M 2;12

– точка перегиба; б)

и

– вогнутый,

и

;

3

0;

3

3;0

–

выпуклый,

точки

перегиба

и

O 0;0

;

3;

M1,2

3;0

в)

0;

1

– выпуклый,

1

;

– вогнутый,

M

1

;

3

– точ-

2e3

e

3

e

3

e

3

ка перегиба;

г)

;

3

и

1;

–

вогнутый,

3; 1

–

выпуклый,

точки перегиба

M1

3;

10

и

M 2

1;

2

.

4. а)

x

1 ,

x

3 ,

y

0 ;

e3

e

б)

x

1 ,

y

x (левая), y

x

(правая); в) x

0 ,

y

1 (левая), y

0

(правая); г) x

1 . 5. а)

y max

0 при

x

0 ,

y min

4 при

x

2 , точка

перегиба M 1; 2 ; б)

y max

2 при x

0 ,

y min

2 при x

2 , асимпто-

ты

x

1 ,

y

x

1; в)

точки перегиба

M1 0;1

и

M 2 1;0

,

асимптота

y

x ;

г)

функция

нечетная,

y max

1

2 k

при

x

k ,

2

4

y min

3

1

2 k

при x

3

k

, точки перегиба M k

k;2 k , асим-

2

4

птоты

x

2k

1

,

k

Z

.

6.

а) m

f ( 1)

2 ,

M

f (

2)

11;

2

29

б)	m	f (3)			5	,					M			f (0) 1 ; в) m f (0) 1 , M f ( 2) 3 .
				13
	25	50 . 8.	3						3						V
7.				2V							2V			3	4 . 9. Высота прямоугольника равна радиу-
								4 R3
су полукруга. 10.													.
						3				3

30