§ 8. Нахождение параметров эмпирической зависимости методом наименьших квадратов

Параметры наилучшей прямой можно определить не только графически, но и аналитически. Наи­лучшая прямая (32) определяется по правилу «наименьших квадратов», т. е. параметрам а и b приписываются такие значе­ния, при которых величина

(37)

имеет минимум¹¹. Как известно, функция f(А) принимает минимальное значение при A =A_min, если ее первая производная f '(А) =равна нулю, а вторая производнаяf" (А) = положительна, при этом значении А = А_min. Для функ­ции многих переменных эти условия заменяются требова­нием, чтобы частные производные, т. е. производные по параметру A_i, удовлетворяли вышеупомянутым услови­ям, причем все остальные параметры A_j (j i) при вычис­лении производных считаются постоянными.

Из условий минимума получаются следующие формулы для нахождения наилучших значений а и b по измеренным значе­ниям х_i,y_i (i= 1, 2, ..., п) [6]:

(38)

где

(39)

При расчетах следует помнить, что в числителе первой формулы обычно вычитаются близкие по величине члены, что вызывает необходимость удерживать при вычислениях много значащих цифр.

Для определения параметра k прямой (35), проходящей через начало координат получается следующая формула:

(40)

Формулы для нахождения погрешностей соответствующих параметров a, b, k будут иметь вид:

(41)

где

(42)

Изложенный выше способ применения метода наименьших квадратов можно обобщить и на некоторые случаи нелинейной зависимости.

Например, при изменении температуры T в небольшом интервале зависимость давления насыщающих паров жидкости теоретически может быть представлена в виде

(43)

где L – удельная теплота испарения воды, – молярная масса,R – универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура, – некоторая постоянная.

Так как зависимость давления от температуры и теплоты испарения воды является нелинейной, то метод наименьших квадратов следует применять не к самим давлениям, а к логарифмам. Логарифмируя зависимость (43), получим

_.

Сравнивая полученное выражение с формулой для линейной зависимости (32), видим, что и _.

Формулы (38) запишутся следующим образом:

.

Следует, однако, заметить, что аналитический расчет параметров и их погрешностей обычно не избавляет от необходимости строить графики, так как только с их помощью можно получить представ­ление о полученной зависимости, отметить наличие существенных особенностей и т.д.

§ 9. Общие указания к выполнению лабораторных работ

Выполнение лабораторной работы рекомендуется производить в следующем порядке:

1. Перед выполнением работы следует убедиться в нали­чии необходимых приборов и принадлежностей, подробно разобраться в их устройстве и назначении, занести в бланк отчета (см. ниже) их основные характеристики и провести настройку лабораторной установки.

2. Все измерения следует производить внимательно и не спеша, так как поспешно сделанные измерения обычно со­держат грубые ошибки.

Для повышения точности измерений следует разумно согласовывать точность измерения различных величин друг с другом и производить повторные, контрольные, измере­ния. Число повторных измерений указывается в описании каждой работы, однако эти указания являются примерными, их количество должен устанавливать сам экспериментатор, ос­новываясь на результатах своих измерений. Если результаты измерений совпадают, то на этом следует остановиться. Если же между результатами обнаруживается значительное расхож­дение, то измерения нужно продолжить, чтобы выяснить причину ошибок.

3. Результаты всех измерений необходимо сразу же за­писать в тетрадь, в предварительно подготовленную таб­лицу.

Записи необходимо вести аккуратно, так как небреж­ность часто приводит к грубым ошибкам.

4. При обработке результатов прямых измерений мы предлагаем следующий порядок операций:

1. Исправляются результаты наблюдений исключением (если это возможно) систематической погрешности путем введения и учета поправок.

2. Вычисляется среднее арифметическое значение из n измерений .

3. Если одно измерение резко отличается по своему значению от остальных измерений, то следует проверить, не является ли оно промахом (см. [1]).

4. Вычисляется средняя квадратичная погрешность результата серии измерений .

5. Определяется коэффициент Стьюдента t_α для заданной надежности α и числа произведенных измерений n (см. табл. приложения 1) и находятся границы доверительного интервала .¹²

6. Если величина погрешности результата измерений, определяемая выше, окажется сравнимой с величиной погрешности прибора, то в качестве границы доверительного интервала берут величину , где Δа_инстр – величина погрешности прибора.

7. Окончательный результат записывается в виде (при доверительной вероятности α = … .

8. Оценивается относительная погрешность результата серии измерений .

9. Результаты однократных прямых измерений записывают вместе с их абсолютной погрешностью в виде а = а' ± Δ а_инстр, где а' – результат единственного измерения, Δа_инстр – погрешность прибора.

5. Для косвенных измерений:

1. Для каждой серии измерений величин, входящих в определение искомой величины, производится последовательность операций, описанная в предыдущем пункте. При этом для всех измеряемых величин задают одно и то же значение надежности α.

2. Вычисляют косвенную величину , используя средние значения результатов прямых измерений. Привыполнении расчетов необходимо выполнять следующие правила:

1. Запись начинается с буквенной формулы, в которую после знака «=» подставляются числовые значения.

2. Подстановка чисел должна полностью повторять буквенное начертание формулы; никакие действия «в уме» при подстановке не допускаются.

3. Подставлять в формулу можно лишь те значения, которые были получены, записаны и объяснены ранее, или указаны в характеристиках измерительных приборов – погрешность прибора и пр.

4. При подстановке размерности подставляемых величин не указываются, но необходимо следить, чтобы значения всех параметров выражались в одной и той же системе единиц. После каждого окончательного результата должна обязательно быть указана размерность.

5. Если по одной и той же формуле рассчитывается несколько однородных величин, то можно ограничиться одной записью подстановки.

6. При подстановке и расчетах необходимо следить за строгим выполнением правил работы с приближенными числами.

3. Находится выражение для оценки погрешности косвенного результата с использованием формул (30), (31).

4. Оцениваются границы доверительного интервала для результата косвенных измерений и определяется относительная погрешность результата косвенных измерений.

5. Окончательный результат записывается в виде

6. Если изучается экспериментальная зависимость, то строится график (при необходимости строится два графика – один в натуральном, другой в функциональном масштабе). Находятся параметры полученной экспериментальной кривой и их погрешности: графически (см. § 7) или, для получения более точных результатов, методом наименьших квадратов (см. § 8).