ВАШ КОРР КУРС Геометрия Ковал Лосева
.pdfМинистерство образования и науки Украины |
Донецкий национальный университет |
кафедра высшей математики |
и методики преподавания математики |
Коваленко Н. В., Лосева Н. Н. |
Коррекционный курс |
по геометрии |
Методические рекомендации |
к проведению занятий |
(для студентов І курса |
математического факультета) |
Донецк - 2006 |
Министерство образования и науки Украины Донецкий национальный университет кафедра высшей математики
и методики преподавания математики
Коваленко Н. В., Лосева Н. Н.
Коррекционный курс по геометрии
Методические рекомендации к проведению занятий
(для студентов І курса математического факультета)
Донецк - 2006
УДК 514.113 ББК 22ю151я721
Рекомендовано Методическим советом математического факультета Протокол № 32 от 22.05.2006 г.
Коррекционный курс по геометрии: методические рекомендации к проведению занятий (для студентов I курса математического факультета) / Н. В. Коваленко, Н. Н. Лосева. – Донецк, ДонНУ, 2006. – 52 с.
Методические рекомендации составлены в соответствии с программой коррекционного курса геометрии для студентов I курса.
Методические рекомендации призваны помочь студентам актуализировать школьные знания по курсу геометрии, повторить основное содержание теоретического материала, систематизировать некоторые факты, часто используемые при решении задач, обобщить и углубить знания по школьному курсу геометрии, изучить и закрепить методы решения различных задач геометрии.
В рекомендациях учитывается разноуровневость знаний студентов, и предлагаются задания различной сложности для повторения и систематизации материала, предусматриваются задания для самоконтроля.
Рекомендации могут быть полезны студентам-математикам в процессе повторения школьного курса геометрии.
Рецензент: проф. Горр Г. В.
© Н. В. Коваленко, Н. Н. Лосева
2
Программа коррекционного курса ГЕОМЕТРИИ
для студентов І курса специальностей «Математика» и «Статистика»
№ |
Тема занятия |
Кол-во |
|
п/п |
часов |
||
|
|||
І |
Планиметрия |
8 |
|
|
Диагностическая контрольная работа |
1 |
|
1 |
Описание геометрических особенностей задания конфигурации |
|
|
|
(построение чертежа, выявление опорных фактов, |
1 |
|
|
характерных приемов) |
|
|
2 |
Методы решения планиметрических задач |
|
|
|
(с рассмотрением принципа вариативности): |
|
|
2.1 |
Геометрия треугольника |
2 |
|
2.2 |
Геометрия четырехугольника, выпуклые многоугольники, |
2 |
|
|
геометрия окружности |
||
|
|
||
3 |
Метод координат на плоскости |
2 |
|
ІІ |
Стереометрия |
8 |
|
1 |
Прямые и плоскости в пространстве. Проектирование. |
2 |
|
|
Расстояние и угол между скрещивающимися прямыми |
||
|
|
||
2 |
Декартовая система координат в пространстве |
2 |
|
3 |
Векторы и векторный метод решения задач |
2 |
|
4 |
Геометрические тела |
2 |
3
Программа коррекционного курса ГЕОМЕТРИИ
для студентов І курса специальностей «Прикладная математика» и «Информатика»
№ |
Тема занятия |
Кол-во |
|
п/п |
часов |
||
|
|||
І |
Планиметрия |
8 |
|
|
Диагностическая контрольная работа |
1 |
|
1 |
Описание геометрических особенностей задания конфигурации |
|
|
|
(построение чертежа, выявление опорных фактов, |
1 |
|
|
характерных приемов) |
|
|
2 |
Методы решения планиметрических задач |
|
|
|
(с рассмотрением принципа вариативности): |
|
|
2.1 |
Геометрия треугольника |
2 |
|
2.2 |
Геометрия четырехугольника, выпуклые многоугольники, |
2 |
|
|
геометрия окружности |
||
|
|
||
3 |
Метод координат на плоскости |
2 |
|
ІІ |
Стереометрия |
10 |
|
1 |
Прямые и плоскости в пространстве |
2 |
|
2 |
Проектирование. |
2 |
|
|
Расстояние и угол между скрещивающимися прямыми |
||
|
|
||
3 |
Декартовая система координат в пространстве |
2 |
|
4 |
Векторы и векторный метод решения задач |
2 |
|
5 |
Геометрические тела |
2 |
4
Диагностический тест
Задания 1 – 30 содержат четыре варианта ответов. ОДИН ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите верный вариант ответа
1. Найти координаты конца диаметра, если другим его концом является точка
(5;-2), а центром окружности – точка (2;0). |
|
||||
1) |
(-1;2); |
2) |
(2;-1); |
3) (1;-2); |
4) (-1;-2). |
2. Какая из точек не лежит на окружности х2 +у2 =25. |
|
||||
1) |
(3;5); |
2) |
(4;3); |
3) (-4;3); |
4) (-3;-4). |
3. Уравнение окружности с центром в точке (-4;-2), которая пересекает ось ординат в точке (0;1) имеет вид
1) |
(х+4)2 +(у+2)2 =5; |
3) |
(х-4) 2 +(у-2) 2 = |
|
|
; |
|
17 |
|||||||
2) |
(х-4) 2 +(у-2) 2 =17; |
4) |
(х+4)2 +(у+2) 2 =25. |
||||
4. Найти координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма АВСD, |
|||||||
если А (-2;2), В (3;2), С (1;-1), D (-4;-1). |
|
|
|
|
|
||
1) |
(0,5;-0,5); |
2) (-0,5;0,5); |
3) |
(0,5;0,5); |
4) (-0,5;-0,5). |
||
5. Дано уравнение окружности (х+1)2 +(у-2)2 =25. Точка (2;-1) |
|||||||
1) |
лежит внутри окружности; |
3) |
лежит вне окружности; |
||||
2) |
лежит на окружности; |
4) |
совпадает с центром окружности. |
6. Точка пересечения |
медиан треугольника делит |
медианы в отношении |
||||||||||||||
(считая от вершины): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) 1:3; |
|
|
|
|
|
2) 2:1; |
3) 1:4; |
4) |
1:1. |
|||||||
7. В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О. Сумма |
||||||||||||||||
векторов |
OA |
+ |
OB |
+ |
OC |
+ |
OD |
равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
4) |
0. |
|
||||
1) 4 ; |
|
|
|
|
|
2) 3 ; |
3) 2 ; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8. Даны точки А(2;3) и В(1;0). Найти координаты вектора |
BA |
. |
|
|||||||||||||
1) BA(3;3); |
2) BA(-1;-3); |
3) BA (1;3); |
4) |
|
|
BA |
(-3;-3). |
9. Точка С является серединой вектора АВ. Найти координаты точки А, если
С(-1;2), В(3;2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1) А(-5;2); |
|
|
2) А(1;2); |
3) А(1;6); |
|
4) А(-2;0). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
Чему равна длина вектора |
|
AB |
, если А(1;1), В(-1;-1)? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1) |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
2) 2 2 ; |
|
|
|
|
|
|
3) 0; |
|
|
|
4) |
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
11. Векторы |
r |
и pr |
коллинеарны Û когда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1) |
р=1; |
|
|
|
|
|
|
|
2) р R; |
3) p<0; |
|
|
4) |
р>0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
12. |
Какой из векторов |
|
(2;2), |
|
(3;2), |
|
|
(4;−2), |
|
|
(2;−3) |
имеет наибольшую длину? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
c |
d |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1) |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
; |
|
3) |
|
; |
|
|
|
4) |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
b |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ 1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
13. |
Даны точки А(2;1;7), В(-1;1;3), Сç |
|
;1;2÷ . Найти внутренний ÐВ DАВС. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 3 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1) |
0°; |
|
|
|
|
|
|
|
2) 60°; |
|
|
|
|
|
|
|
3) 180°; |
|
|
4) |
90°. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
14. |
Единичный вектор, противоположно направленный вектору |
a |
(-3;4) : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
æ |
- |
3 |
; |
4 |
ö |
2) (-1;0); |
|
|
|
|
æ |
3 |
;- |
4 |
ö |
|
æ |
|
1 |
|
;- |
|
1 ö |
||||||||||||||||||||
|
1) |
ç |
|
|
|
|
÷; |
|
|
|
|
3) ç |
|
|
|
÷; |
4) |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ . |
|||||||||||||||||||
|
5 |
5 |
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
è |
|
2 |
|
|
|
|
2 ø |
5
15. |
Даны точки А(1;0), В(0;0), С(0;1), D(1;1). Найти площадь четырехугольника |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ABCD. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
1; |
|
|
2) |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
2; |
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
16. |
Найти скалярное произведение векторов, если |
|
|
|
= 5, |
|
|
|
= 4 и ( |
|
; |
|
)= 600 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
b |
|
a |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1) |
10; |
|
|
2) 15; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
20; |
|
|
|
|
|
|
|
4) 25. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
17. |
Найдите координаты вектора |
|
|
|
и абсолютную величину вектора |
|
, если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AB |
AB |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
А(-1;3), В(3;6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1) |
(4;3), 5; |
2) (2;3), 4; |
|
|
|
|
3) |
(-4;3), 6; |
|
|
|
4) (-4;-3), 3. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
18. |
Дано: |
a |
(1,-2), |
|
b |
|
|
( - 5,3), |
|
|
c |
|
(х;у). |
Какими |
|
должны |
|
быть х и у, чтобы |
|||||||||||||||||||||||||
выполнялось равенство |
|
+ |
|
|
|
− |
|
= |
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a |
b |
c |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1) |
х=-4, у=1; |
|
|
2) х=-1, у=4; |
3) |
х=6, у=-5; |
|
|
4) х=6, у=5. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
19. |
В прямоугольном треугольнике АВС (Ð С=90°) дан Ð АВС=30° и высота |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
CD=3. Найти катет СВ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1) |
3; |
|
|
2) |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
6; |
|
|
|
|
|
|
|
4) 1,5. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
20. |
В прямоугольном треугольнике катеты 6 см и 8 см. Найти радиус |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
окружности, вписанной в этот треугольник. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1) |
5 см; |
|
|
2) 4 см; |
3) |
2 см; |
|
|
4) 1 см. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
21. |
Как изменится объем конуса, если высоту конуса уменьшить в 10 раз, а |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
радиус его основания увеличить в 5 раз? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1) увеличится в 5 раз; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) увеличится в 2,5 раза; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
2) уменьшится в 5 раза; |
4) уменьшится в 2 раза. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
22. |
Во сколько раз надо уменьшить радиус основания цилиндра, не меняя его |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
высоты, чтобы его объем уменьшился втрое? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) в 3π раз. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1) |
в 3 раза; |
|
|
2) в 9 раз; |
3) в |
|
раз; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
23. В прямом параллелепипеде стороны основания 2 и 4, угол между ними 30°. Боковая поверхность равна 224. Найти полную поверхность параллелепипеда.
|
1) 228; |
2) 232; |
|
3) 240; |
|
|
|
|
4) 231. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
24. |
Длина наклонной АС равна 7. Точка А удалена от плоскости на расстоянии |
|||||||||||||||||||||||||||||||
5. Найти угол между наклонной и плоскостью. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1) arcsin 5 ; |
2) arccos 7 ; |
3) arctg 7 ; |
4) arccos |
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
7 |
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
7. |
|||||||||||||||||
25. |
Найти площадь ортогональной проекции квадрата с диагональю 10, если |
|||||||||||||||||||||||||||||||
угол между плоскостями квадрата и его проекции равен 30°. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1) 25; |
|
|
2) 25 |
|
|
|
; |
3) 50; |
|
|
|
|
4) 50 |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||
|
3 |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
26. |
Найти скалярное произведение векторов |
|
=(6;-7;3) и |
|
=(-4;2;3). |
|||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1) 29; |
|
|
2) 1; |
|
|
|
|
|
3) -29; |
|
|
|
|
4) -1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
27. |
Найти косинус угла между векторами |
|
=(2;1;0) и |
|
=(0;2;-6). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
a |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1) |
|
2 |
|
; |
2) |
|
2 |
|
; |
|
3) - |
|
|
2 |
|
; |
|
|
4) - |
|
2 |
|
. |
|
|
||||||
|
5 |
|
10 |
|
|
|
5 |
|
|
|
20 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
28. |
Какая точка симметрична точке (2;-5;-6) относительно оси Ох? |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1) (2; -5; 6); |
2) (2; 5; 6); |
3) (-2; -5; -6); |
|
|
4) (2; 5; -6). |
6
29. Радиусы основания усеченного конуса 2 и 3, высота 4. Найти образующую.
1) 2 17 ; |
2) 17; |
3) 5; |
4) 2 5 . |
30. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь которого 100. Найти площадь основания цилиндра.
1) 25π ; |
2) 5π ; |
3) 25; |
4) 10π . |
Занятие № 1
Тема занятия «Геометрические особенности заданной конфигурации»
(1 час)
Цели:
-повторить основные подходы к решению геометрических задач;
-выработать навыки в оформлении чертежа;
-сформулировать некоторые факты, часто используемые при решении планиметрических задач.
1. Краткое содержание теоретического материала
Решение геометрической задачи начинается с чертежа. Чертеж должен быть:
-«большим и красивым»;
-лаконичным;
-с возможностью последующих уточнений;
-с выносными картинками (при необходимости);
-с соблюдением пропорций и соотношений.
Один из основных этапов решения геометрической задачи – выявление характерных особенностей конфигурации, описанной в задаче.
Представляется полезным выделить некоторое множество задач, в которых формируется некий факт, достаточно часто используемый в задачах, либо иллюстрируется какой-либо метод или прием решения задач. Такие задачи называют опорными, и их делят на задачи-теоремы и задачи-методы.
2. Система задач для аудиторных занятий
Задача 1. Пусть АМ – биссектриса треугольника АВС. Докажите, что ВМ:СМ=АВ:АС. То же верно для биссектрисы внешнего угла треугольника. В этом случае М лежит на продолжении стороны ВС.
Указания: Если АМ – биссектриса внутреннего угла, то
AM = S ABM .
MC S CBM
Пусть АМ – биссектриса внешнего угла АВ1=АВ; ВВ1||АМ.
7
Задача 2. Через точку М, находящуюся на расстоянии а от центра окружности радиуса R (a>R), проведена секущая, пересекающая окружность в точках А и В.
Докажите, что МА•МВ постоянно для всех секущих и равно a2–R2 (квадрату длины касательной).
Указания: МС – касательная, ∆ МАС ~ ∆ МСВ. MCMA = MCMB или МА•МВ=МС2=a2–R2.
Задача 3. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжений ее боковых сторон, проходит через середины оснований трапеции.
Указания:
BC || AD => K, P, L лежат на одной прямой (L – середина ВС, P - середина AD). Прямая, проходящая через точку М делит ВС и AD в одинаковом отношении => M, P и L тоже лежат на одной прямой.
Задача 4. Расстояние между серединами двух сторон четырехугольника равно полусумме двух других сторон. Докажите, что этот четырехугольник – трапеция.
Указания: воспользуйтесь методом «средних линий» (зафиксируйте середину одной из диагоналей и рассмотрите средние линии треугольников, образованных сторонами четырехугольника и диагоналями).
Задача 5. В параллелограмме со сторонами a и b и углом α проведены биссектрисы четырех углов. Найдите площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами. Указания: докажите, что полученный четырехугольник – прямоугольник.
Ответ: 12 (a − b)2 sinα .
3. Задания для самоконтроля
1. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1, ВВ1, СС1. Докажите, что эти высоты являются биссектрисами углов треугольника А1В1С1.
Указания: воспользуйтесь свойством точек, лежащих на одной окружности.
2. Докажите, что: а) высоты в треугольнике пересекаются в одной точке и б) расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот вдвое больше, чем расстояние от центра описанного круга до противоположной стороны.
Указания: проведите прямые через вершины треугольника АВС, параллельно противоположным сторонам треугольника.
3. Докажите, что сумма расстояний от любой точки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон равна высоте этого треугольника, проведенной к боковой стороне.
Указания: рассмотрите площадь исходного треугольника в виде суммы площадей двух треугольников, одна сторона которых – общая (отрезок соединяющий вершину равнобедренного треугольника с фиксированной точкой на
8
основании), а высоты опущены из этой фиксированной точки на боковые стороны.
4. Докажите справедливость следующих формул для площади треугольника:
S = a2 sin B sin C ,
2sin A
а – сторона, лежащая против угла А; R – радиус описанной окружности. Указания: воспользуйтесь теоремой синусов.
5. Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник,
вычисляется по формуле r = 12 (a + b − c), где a и b – катеты; с – гипотенуза.
Указания: воспользуйтесь свойством касательных, проведенных из одной точки к окружности.
Занятие № 2
Тема занятия: «Методы решения планиметрических задач. Геометрия треугольника»
Цели:
- Обучающие:
v обобщить и углубить школьные знания студентов о свойствах треугольников, v изучить дополнительные теоремы,
v сформировать умения применять их при решении различных задач
- Развивающие:
vразвивать «геометрическое зрение», абстрактное и логическое мышление, умение сопоставлять,
vприменять анализ и синтез при решении задач,
vинтерпретировать результат рисунком, использовать вариант перебора.
1. Краткое изложение теоретического материала
Треугольник – геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, - вершин треугольника, - и попарно соединяющих их отрезков – сторон треугольника, при этом образуются три угла треугольника.
В любом треугольнике можно выделить следующие элементы:
h - высота, проведенная к стороне b; cb – проекция стороны c на сторону b;
ab – проекция стороны а на сторону b;
S – площадь;
р – полупериметр;
R – радиус описанной окружности; r – радиус вписанной окружности;
d – средняя линия треугольника, (d || b, d=½b).
9