Прямые измерения

1. Случайная погрешность

Окончательный результат прямого измерения - наиболее вероятное значение измеряемой величины - определяется как среднее арифметическое значений, найденных в многократно повторенных наблюдения:

(5)

где х_i - значение измеряемой величины в i-м наблюдении, n-число пов-торных наблюдений.

Разность х_i- <x> =Dx_iназывается случайным отклонением результата i-го наблюдения от среднего значения. Приблизительно в 68% случаев отклонения Dх_i по модулю не превышает некоторую величину s - стандартное отклонение, а в 32% превышают её. Иными словами, с вероятностью 68% отклонение Dх_i лежит в интервале [-s; +s].Для любого значения вероятности Р доверительный интервал [-l_Ps, +l_Ps]определяется множителем l_Р, который зависит от Р (табл.1.1).

В теории вероятностей показывается, как можно оценить величину s по отклонениям Dx_i = х_i- <x>:

(6)

Т.е., стандартное отклонение s определяет ожидаемую ошибку каждого отдельного, единичного измерения. Знание величины s дает возможность оценивать вероятность получения при одноразовом наблюдении той или иной величины ошибки.

Таблица 1.1

№ п.п. \ Р	0,5	0,9	0,95	0,99
2	1,60	6,31	12,7	63,7
3	0,82	2,92	4,30	9,92
4	0,77	2,35	3,16	5,94
5	0,74	2,13	2,78	4,60
6	0,73	2,02	2,67	4,03
7	0,72	1,94	2,45	3,71
8	0,71	1,89	2,36	3,50
9	0,71	1,86	2,31	3,36
10	0,70	1,83	2,26	3,25
15	0,69	1,76	2,14	2,98
20	0,69	1,73	2,09	2,86
µ	0,68	1,65	1,96	2,59

Замечание: При n®µприведены значения коэффициентов l_Р.

Величина

(7)

называется средней квадратичной погрешностью отдельного наблюде-ния. Стандартное отклонение s » S, и чем больше число наблюдений n, тем точнее это приближённое равенство (при n®µs=S).

Среднее арифметическое совокупности результатов измерений точнее характеризует значение измеряемой величины, чем результат только одного измерения, поэтому стандартное отклонение среднего результата s_n меньше s и равно:

(8)

Следовательно, средняя квадратичная погрешность окончательного результата измерений

(9)

Тогда полуширина доверительного интервала Dх=l_РS_n.При небольшом количестве наблюдений множитель l_Р нужно заменить на новый t _n,P, называемый коэффициентом Стьюдента (см.табл.1.1.).

С учётом коэффициента Стьюдента случайная погрешность результата, определяющая полуширину доверительного интервала около среднего значения измеряемой величины, равна

(10)

• это основная формула для подсчёта случайных погрешностей прямых измерений.

• Погрешность прибора

Значения предельных погрешностей определены ГОСТами, гарантированы при изготовлении и проверке приборов и обычно указываются в их паспорте. Для одних приборов стандартами задаётся предельная абсолютная погрешность d (табл.1.2), а для других - предельная относительная

Таблица 1.2

Приборы и пределы	Значение предела	Предельная погрешность
Линейки металлические	150, 300, 500 мм	0,1 мм
>> >>	1000 мм	0,2 мм
>> деревянные	200, 250, 300 мм	0,1 мм
>> >>	400, 500, 1000 мм	0,5 мм
>> пластмассовые	200, 250, 300 мм	1 мм
Гири для техн. анализа	10, 20, 50, 100 мг	1 мг
>>	200 мг	2 мг
>>	500 мг	4 мг
>>	1 г	6 мг
>>	2 г	8 мг
>>	5 г	12 мг
Мензурки 2-го класса	100, 200 см^3	5 см^3
Штангенциркули
с ценой деления 0,1 мм	0-155 мм	0,1 мм
>> 0,05 мм	0-200;0-250;0-350 мм	0,05 мм
Микрометры 0,01 мм	0,25, 25-50 мм	4 мкм
Индикаторы 0,01 мм	0-2 мм	12 мкм
>>	0-5 мм	16 мкм
>>	0-10 мм	20 мкм
Весы лабораторные	5-100, 10-200 г	3 цены деления шкалы
Секундомеры технич.	30-60 мин	1,5 цены деления шкалы
>> электромеханич.	30 мин	0,5 цены деления шкалы
Термометры стекл.жидк	от -20^0 до 100^0	1 цена деления шкалы

погрешность (класс точности k).Классом точностиприбора называется выраженное в процентах отношение предельной абсолютной погрешность прибора d к максимальному значению измеряемой им величины х_max(для многопредельных приборов на рабочем пределе):

(11)

Знак % на приборах не ставится. Для электроизмерительных приборов возможны классы точности: 0,02; 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 2,5; 4,0.

По известному классу точности находится предельная абсолютная погрешность прибора

(12)

Предельная погрешность d и класс точности kзадаются с доверительной вероятностью Р=0,997. Это означает, что полуширина доверительного интервала, в котором может быть заключена измеряемая величина, равна 3s. В учебных лабораториях принимают значение Р=0,95, которому соответствует полуширина 2s. Поэтому в лабораторном практикуме при вычислении приборных погрешностей следует брать не полную величину d, а только 2/3 её величины:

(13)

Для произвольной вероятности Р абсолютная приборная погрешность

, (14)

где коэффициент l_Р, зависящий от доверительной вероятности Р, определяется по табл.1.1 (при Р=0,95l_Р= 2,0). Из (14) видно, что абсолютная приборная погрешность Dх_пр не зависит от значения измеряемой величины х_изм и для данного прибора (на данном пределе) есть величина постоянная.

Относительная погрешность измерения, обусловленная прибором:

(15)