(1)АЛГЕБРА КОНЕЧНЫЙ
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3. ПРОПОРЦИИ |
|
||||||||
Из пропорции |
|
|
a |
|
c |
|
следуют равенства: |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
b |
d |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a d b c |
|
a |
b c |
|
|
|
|
|
b |
a d |
|
c |
a d |
|
|
d |
b c |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
c |
b |
|
a |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a b |
|
c d |
|
|
a |
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
b |
|
d |
|
|
a b |
|
|
c d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.4. АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА
|
|
|
(МОДУЛЬ) |
|
|
|
a, если a 0, |
1. Определение: |
a |
|
a, если a 0 . |
|
|
|
2. Основные свойства модуля:
1) |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
; |
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
a b |
|
|
|
|
|
b a |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
|
|
|
a b |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
b |
|
; |
4) |
|
|
a n |
|
|
|
a |
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
, b 0; |
6) |
|
a b |
|
|
|
a |
|
|
|
b |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7)a b a b ;
2.Неравенства с модулем:
1) |
|
x |
|
a |
a x a, если a 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x a, |
|
|
-а |
0 |
а |
x |
|||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ) |
|
x |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-a |
0 |
|
a |
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
3.5. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ |
|||||||||||||
a b 2 a2 2ab b2 |
|
|
квадрат суммы двух |
чисел |
|||||||||
a b 2 a 2 2ab b 2 |
|
|
|
квадрат разности двух чисел |
|||||||||
a 2 b 2 a b a b |
|
|
|
разность квадратов двух чисел |
|||||||||
a b 3 a3 3a 2b 3ab2 b3 |
|
|
куб суммы двух чисел |
|
|
||||||||
a b 3 a3 3a |
2b 3ab2 b3 |
|
куб разности двух чисел |
|
|
||||||||
a3 b3 a b |
a 2 ab b 2 |
|
|
|
сумма кубов двух чисел |
|
|
||||||
a3 b3 a b a 2 ab b 2 |
|
|
разность кубов двух чисел |
|
|||||||||
|
3.6. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
|
|
||||||||||
У р а в н е н и я |
|
Формула корней |
Формулы Виета |
||||||||||
ax 2 bx c 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a, b, c -действ. чис- |
x1,2 |
|
b |
|
b 2 4ac |
x1 x |
2 |
b |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
||||
ла, a 0 ( неприве- |
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
дённое квадратное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 x2 c |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
уравнение) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 px q 0 |
|
|
|
|
p |
|
|
p |
2 |
x1 x2 p |
|||
|
|
|
x1,2 |
|
|
|
|
|
q |
x1 x |
2 q |
|
|
(приведённое квад- |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ратное уравнение) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax 2 2k x c 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(уравнение с чёт- |
|
x1,2 |
|
k |
k 2 ac |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
||
ным вторым коэф- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
фициентом) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
3.7.РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
x2 px q x x1 x x2
ax 2 bx c a x x x x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax3 bx 2 cx d a (x x ) (x x |
2 |
) (x x |
3 |
) |
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ax 4 bx3 cx 2 dx e a (x x ) (x x |
2 |
) (x x |
3 |
) (x x |
4 |
), |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
где x1 , x2 , x3 , x4 |
|
- корни соответствующих многочленов. |
ДЛЯ ЗАМЕТОК
17
3.8. АРГУМЕНТ, ФУНКЦИЯ
1. Определение функции:
Переменная величина у называется
функцией переменной величины х, если
каждому значению х (взятому из неко-
торого множества чисел) по определён-
ному правилу или закону ставится в со-
ответствие единственное значение пере-
менной у.
При этом переменная х называется
независимой переменной или аргумен-
том, а переменная у – зависимой пере-
менной или функцией.
Тот факт, что переменная у есть функция переменной х, обычно записы-
вают так : y f x , или |
y x , или |
y F x и т.д. |
|
y
|
B |
|
|
|
|
|
|
y f x |
|
|
yo |
|
|
|
|
A |
|
|
|
a |
0 |
x |
b |
x |
|
|
|
0 |
|
На рисунке |
изображен |
график |
||
функции |
y f x . Из графика ус- |
матриваем:
область определения – отрезок x a , b ;
область значений функции - y A, B ;
y0 - частное значение функ-
ции y |
при x x0 , т.е. |
y0 f x0 . |
|
1.Множество значений, принимаемых аргументом х в условии дан-
ной задачи, называют областью определения или областью задания функ-
ции, а множество значений, принимаемых переменной у, называют областью
изменения или областью значений функции.
2.Областью определения функции может быть
или множество всех действительных чисел, т.е. x , ,
или отрезок : x a , b , т.е. a x b ,
18
или интервал: x a ,b , т.е. a x b ;
или полуинтервал: x a , b , т.е. a x b или x a ,b , т.е. a x b
2.Основные способы задания функции
a.Аналитический, при котором функция задается формулой. На-
|
|
|
|
|
пример, y x3 , |
y x2 lg x , |
y x3 sin x и т.д. |
При аналитическом способе функция может быть задана
явно, т.е. в виде y f x ;
явно, но с помощью нескольких формул (разные формулы на раз-
ных частях области определения). Например,
|
|
x 2 , |
если 3 x 1, |
|
|
|
если 1 x 2, |
|
y |
x , |
|
|
x 4, |
если 2 x 5. |
|
|
|
|
|
|
неявно, когда х и |
у связаны между собой уравнением F x, y 0 ; |
|
|
параметрически, |
т.е. когда переменные х и у связаны между со- |
x t ,
бой через третью переменную, называемую параметром: где t – па-
y t ,
раметр.
b.Графический. Функция называется заданной графически, если
начерчен её график. Само равенство y f x называется уравнением этого графика. Естественно, график функции является лишь приближенным изо-
бражением функциональной зависимости y f x , но он наглядно демонст-
рирует качественное поведение функции и поэтому широко применяется в практике
c.Табличный. Говорят, что функция y f x задана таблично, ес-
ли дана таблица, сопоставляющая значения аргумента х с соответствующи-
19
ми им значениями функции y f x . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
- 1 |
0 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
y |
3 |
7 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
f 1 3 , |
f 0 7 , |
f 6 5 и т.д. |
|
|
|
|
||
|
|
3.9. |
ЭЛЕМЕНТЫ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ |
|
|
||||||
|
|
3.9.1. ВОЗРАСТАЮЩИЕ И УБЫВАЮЩИЕ ФУНКЦИИ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
(МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ) |
|
|
|
|
|||
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
y f x |
|
|
|
|
|
y f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f x1 |
f x2 |
|
|
f x1 |
|
f x2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x1 |
x2 |
b |
x |
a |
x1 |
|
x2 |
b |
x |
|
|
Функция y f x |
называется воз- |
|
Функция |
|
y f x |
называется |
||||
растающей на отрезке a , b (на интер- |
убывающей на отрезке |
a , b (на |
|||||||||
вале, полуинтервале и т.д.), если боль- |
интервале, полуинтервале и т.д.), |
||||||||||
шему значению аргумента х |
из этого |
если большему значению аргумен- |
|||||||||
промежутка |
x2 x1 |
соответствует |
та х |
из этого промежутка x2 |
x1 |
||||||
большее значение функции: f x2 f x1 . |
соответствует |
|
меньшее |
значение |
|||||||
|
|
|
|
|
|
функции: f x2 f x1 . |
|
|
|||
|
Если для всех |
х |
из некоторого |
|
Если для всех х из некоторо- |
||||||
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
промежутка выполняется |
неравенство |
го промежутка выполняется нера- |
|||||
f x2 f x1 , |
то говорят, |
что функция |
венство |
f x2 f x1 , то |
говорят, |
||
на данном промежутке неубывающая. |
что функция на данном промежут- |
||||||
|
|
|
ке невозрастающая. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Функции возрастающие или убы- |
|
|
|
|
|
||
вающие на некотором промежутке назы- |
|
|
y |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ваются монотонными. |
|
|
|
y f x |
|
|
|
|
|
y f x не яв- |
|
|
|
|
|
На рисунке функция |
|
|
|
|
|
||
ляется монотонной на промежутке a,b , |
|
|
|
|
|
||
однако на |
частях этого промежутка |
а |
с |
0 d |
b |
х |
|
|
|
|
|
|
|||
a,с , c,d , d ,b функция является моно- |
|
|
|
|
|
||
тонной (возрастающей или убывающей). |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
3.9.2. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЁТНЫЕ ФУНКЦИИ
Функция y f x , определённая на промежутке, симметричном от-
носительно х = 0, называется чётной, если для любого значения х из этого промежутка выполняется равенство f x f x , и нечётной, ес-
ли f x f x .
Из этого определения следует, что график чётной функции симмет-
ричен относительно оси Оу, график нечётной функции симметричен от-
носительно начала координат.
График нечётной функции
21
Это график чётной функции (симмет- |
(симметричен относительно на- |
|||||||||||||
ричен относительно оси Оу) |
|
|
|
|
|
чала координат) y x sin x . |
||||||||
f x x2 2 |
|
x |
|
3 . |
|
|
|
|
|
Проверим: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Проверим: |
|
|
|
|
|
y x x sin x |
||||||||
f x x 2 2 |
|
x |
|
3 x 2 |
2 |
|
x |
|
3 = |
x sin x x sin x y x . |
||||
|
|
|
|
|||||||||||
= f x . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.9.3. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
y |
y f x |
|
|
|
X -Т |
X + T |
||
|
0 |
|
|
x |
x |
|
|
|
|||
T |
T |
|
T |
|
T |
|
|
|
|
|
|
Если график некоторой функции y f x при смещении его на не-
который отрезок вдоль оси абсцисс (влево или вправо) совмещается сам с собой, то функция называется периодической. Длина этого отрезка Т назы-
вается периодом функции f x .
Это словесное определение кратко записывается формулой f x T f x .
Если Т – период функции, то 2Т, 3Т, -Т, -2Т, 3Т и т.д. - также пе-
риоды, т.е.
f x n T f x , где n – любое целое число.
22
3.9.4. КОРНИ ФУНКЦИИ
Значения х, при которых значения функции f x 0 , называются
корнями функции. На графиках - это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.
3.10. ЧТЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
|
|
|
y |
|
|
|
1. |
a,b - область определения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
M |
|
|
функции. |
|
|
|
|
|
|
|
y f x |
2. |
m,M - область изменения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции. |
|
a |
x1 |
x2 x3 |
0 |
x4 |
b |
x |
|
||
|
|
x5 |
3. |
x1 ,x2 , x4 ,b - промежутки воз- |
|||||
|
|
|
m |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
растания функции; a,x1 , x2 ,x4 - |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
промежутки убывания функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
x3 ,x5 - корни функции. |
|
5. f x 0 |
в промежутках |
a,x3 , x5 ,b ; |
||||||
|
|
f x 0 |
в промежутке |
x3 ,x5 . |
|
||||
|
6. |
x1 ,x2 ,x4 - точки экстремума функции, |
|||||||
|
причём в точке x2 |
функция имеет максимум, |
|||||||
|
в точках x1 , x4 - минимум. |
|
|
23
3.11.ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
y
|
|
y x |
B |
|
|
|
y x |
|
y0 |
|
y f x |
|
|
|
A |
|
|
0 |
a |
b x |
|
|
x0 |
На рисунке изображен график функции y f x , промежуток a,b - область оп-
ределения функции,
A,B - область изменения функции. Для каждого значения аргумента x0 из облас-
ти a,b найдётся единственное значение функции y0 , принадлежащее области
A,B .
Поменяем ролями переменные х и у, т.е. за аргумент (т.е. независи-
мую переменную) возьмём у, тогда зависимой переменной (т.е. функцией)
будет х.
На чертеже аргументу y0 соответствует значение функции x0 .
Такая зависимость называется обратной и её уравнением будет также
y f x , но функция |
х задана здесь в неявной форме. Если из этого равен- |
|
ства выразить х, то |
получим обратную зависимость в явной |
форме: |
x y . Областью определения этой функции будет промежуток |
A,B , а |
областью изменения функции будет a,b .
Графиком функции x y будет та же самая кривая, но смотреть на него надо по-особенному: осью аргумента является вертикальная ось, а
осью значений функции – горизонтальная. Чтобы исключить это неудобст-
во, т.е. как обычно ось аргумента расположить горизонтально (слева напра-
во), а ось значений функции вертикально (снизу вверх), надо поменять ро-
лями буквы х и у, т.е. записать обратную зависимость в виде y x . Функ-
ции x y и y x различаются только обозначениями переменных. По-
этому, чтобы из графика x y (или, что то же, функции y f x ) полу-
24