(1)АЛГЕБРА КОНЕЧНЫЙ
.pdf2.Сложение, вычитание, умножение и возведение в целую по-
ложительную степень комплексных чисел можно выполнять по правилам этих действий над обычными алгебраическими выражениями, но с заме-
ной степеней числа i .
3.Деление комплексных чисел:
|
|
|
|
a1 b1 i |
|
(a1 b1 i) (a2 b2 i) |
|
|
(a1a2 b1b2 ) (b1a2 |
b2a1 ) i |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
a b i |
|
(a b i) (a b i) |
|
a2 |
b2 i2 |
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1a2 b1b2 |
|
|
b1a2 b2a1 |
i |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 b2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.26.2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА |
||||||||||||||||||||||
|
|
1. |
Комплексное число |
a b i |
|
определяется парой вещественных |
|||||||||||||||||||
чисел a и |
|
b . |
Это позволяет изображать комплексные числа как точки |
||||||||||||||||||||||
|
M (a,b) |
плоскости в декартовой (прямоугольной) системе координат или |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OM . |
|
|
|
|
|
|
||||
радиусом-вектором этой точки r |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M(a,b) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
2. |
|
Модулем |
комплексного |
числа |
называется |
длина вектора |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
a 2 b2 , угол называется аргументом комплексного числа. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
r |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
3. |
Из прямоугольного треугольника OAM имеем: |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a r cos , b r sin , |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
тогда |
a b i r ( cos i sin ) |
- |
|
|
тригонометрическая форма комплексного числа.
45
4. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
Умножение. Пусть даны два комплексных числа:
|
|
|
z1 |
|
a1 |
b1 |
i r1 |
( cos 1 |
i sin 1 ), |
|||||||||
|
|
|
z2 |
|
a2 |
b2 |
i r2 |
( cos 2 |
i sin 2 ); |
|||||||||
тогда |
z1 z2 |
r1 r2 cos( 1 |
2 ) i sin( 1 |
2 ) . |
||||||||||||||
Деление: |
|
z1 |
|
|
r1 |
cos ( |
|
|
|
) i sin ( |
|
|
|
) . |
||||
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|||||||||||
|
|
z2 |
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возведение в степень:
r ( cos i sin ) n r n cos (n ) i sin (n ) .
Извлечение корня:
|
|
|
|
|
2k |
i sin |
2k |
|
|
|
|
|
|||||
n r cos i sin = n r cos |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
где к 0,1, 2,3,..., (n 1).
Формулы возведения в степень и извлечения корня называются фор-
мулами Муавра.
3.26.3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
z a i b r ( cos i sin ) r ei .
ДЛЯ ЗАМЕТОК
46
3.27. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИЁМЫ ПОСТРОЕНИЯ
ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
3.27.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ
Исходя из графика функции y f x , можно построить графики
функций:
1.y f x - первоначальный график отображается симмет-
рично оси Ох («зеркальное отображение»).
2. y f x а - первоначальный график сдвигается вдоль оси
Ох на величину а вправо, если a 0 и влево, если a 0 .
3.y f x b - исходный график перемещается вдоль оси Оу
на величину b : вверх, если b 0 , и вниз, если b 0 .
4.y А f x - исходный график растягивается вдоль оси Оу в
А раз (если А>1) и сжимается в |
1 |
раз, если |
0 A 1. |
||
|
|
|
А |
|
|
5. |
y f k x |
- тот же график, но растянутый вдоль оси Ох от |
|||
начала координат в |
1k раз. |
|
|
|
|
Таким образом, |
используя график функции y f x , можно постро- |
||||
ить график функции |
|
|
|
|
|
6. |
y A f k x a b . |
|
|
|
47
Примеры.
1) y f x , y f x
y ln x
y ln x
3) y f x b
2)y f x а
Примеры. (1): y1 cos x ;
(2): y2 cos( x 1) - сдвиг на 1 ед.
вправо;
(3) : y3 cos( x 2 ) - сдвиг на 2 ед.
влево.
4) y А f x
Примеры. (1) : y1 sin x ; |
Примеры. (1) : y |
sin x ; |
||||||
(2) : y2 2 sin x - сдвиг на 2 ед. |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(2) : |
y |
2 |
3 sin x |
- растяжение в 3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
вверх ; |
раза вдоль оси Оу; |
|||||||
(3) : y3 1 sin x - сдвиг на 1 ед. |
||||||||
(3): |
y |
|
|
1 |
sin x - сжатие в 2 раза. |
|||
|
|
|||||||
вниз. |
2 |
|
||||||
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
48
5) y f k x
Примеры. (1): y sin x ;
(2): y sin 2x - сжатие в два
раза к началу координат вдоль оси Ох;
(3): y sin( 21 x )- растяжение в два
раза от начала координат вдоль оси Ох.
6) y A f k x a b
Пример.
y 3 sin( 2x 4 )+1
Приведём к виду:
y 3 sin 2( x 2 ) 1.
Строим цепочку графиков в следующей последовательности:
1. y1 sin x ;
2. y2 sin 2x - сжатие в 2 раза ; 3. y3 sin 2( x 2 ) - сдвиг на 2
ед. вправо вдоль оси Ох;
4. y4 3 sin 2( x 2 ) 3y3 -
растяжение в 3 раза вдоль оси Оу;
5. y5 3 sin 2( x 2 ) y4 -
зеркальное отображение относительно оси Ох;
6. y y5 1 - график построен.
49
|
|
|
3.27.2. |
СЛОЖЕНИЕ ГРАФИКОВ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
Для |
построения |
графика |
|
|
|
|
y x |
функции |
y f x x |
|
|
||
|
|
|
|
|
x |
можно поступить так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1. Строим графики функций |
|||
|
|
|
|
|
|
y1 f x , y2 x . |
|
||
|
|
|
|
|
y1 x |
2. Возьмём какое-нибудь значе- |
|||
|
|
|
|
|
|
ние x0 из области определения |
|||
|
|
|
x0 |
|
|
функций и найдём f x0 , x0 . |
|||
|
|
|
|
1 |
3. После этого остаётся сло- |
||||
|
|
|
y2 |
|
жить направленные отрезки, ве- |
||||
|
|
|
|
|
x |
личины |
которых |
|
равны |
|
|
|
|
|
|
f x0 , x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Взяв различные значения х и |
|||
|
|
|
|
|
|
поступая |
аналогичным |
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
построим точки, принадлежащие |
|||
|
|
|
|
|
|
графику функций y f x x . |
|||
Пример. |
y x 1 . Эту функцию можно записать как y y |
y |
, |
||||||
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где y x , y |
2 |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Строим графики этих функций и их складываем. |
|
|
|||||||
3.28. ГРАФИКИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИЕ |
|
||||||||
АБСОЛЮТНУЮ ВЕЛИЧИНУ (СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛЬ) |
|
||||||||
y x 2 2 x 3 |
|
|
|
|
|
y x2 2 x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ln |
x |
|
y |
ln |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y sin |
x |
|
y |
sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y cos |
|
x |
|
y |
cos |
|
x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- /2 |
/2 |
-1,5 |
-0,5 |
0,5 |
|||
1,5 |
|
1.5 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y tg |
x |
|
|
y |
tg |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1,5 |
-0,5 |
0,5 |
1,5 |
-1,5 |
-0,5 |
0,5 |
1,5 |
|
|
51
y ctg |
|
|
|
|
x |
y |
ctg |
x |
|
|
|
|
|
|
- |
|
- |
|
3.29.ПРОГРЕССИИ
a)Арифметическая прогрессия
1.Общий член арифметической прогрессии:
an a1 d n 1 .
Здесь а1 - первый член прогрессии, d – разность прогрессии.
2. Сумма n членов арифметической прогрессии:
S |
a1 an |
n , n - число членов прогрессии. |
|
2 |
|||
|
|
52
б) Геометрическая прогрессия |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1. |
Общий член геометрической прогрессии: |
|
|
||||||||||||||
|
|
u |
n |
u q n 1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
где |
u1 - первый член , q - знаменатель прогрессии. |
|||||||||||||||
2. |
Сумма |
|
n |
членов геометрической прогрессии: |
|
||||||||||||
|
Sn |
|
u u |
n |
q |
|
Sn u1 |
1 q n |
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
или |
|
|
, если |
q 1. |
||||||
|
|
|
|
1 q |
|
|
|
1 q |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии |
||||||||||||||||
|
( q < 1) сумма |
членов |
S |
u1 |
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 q |
|
|
|
|
53
ДЛЯ ЗАМЕТОК
54