2.1.3. Динамика амбивалентных систем

Сделаем анализ перехода амбивалентной системы из начального состояния в состояние гомеостаза и сравним время перехода в разные гомеостазы.

Решение дифференциальных уравнений Колмогорова, описывающих поведение амбивалентной системы с параметрами и, в явном виде при начальных условияхP₀(0)=1, P₁(0)=0, P₂(0)=0 выглядит следующим образом [13]:

;

;

Для начальных условий выглядит следующим образом:

Для начальных условий:

где ,,,,,-корни характеристического уравнения, детерминант которого имеет следующий вид и равен 0.

.

Решая это уравнение, находим, что

.

Корень определяет стационарный режим работы системы при .

Рассмотрим переход системы в состояние “мягкого” гомеостаза при ,т.е. .В этом случае ,,.Подставляя значение корней в уравнение имеем:

При , задаваясь порогомполучаем:

для состояния :,t=2.31 ед. времени;

для состояния :,,;

для состояния :,ед. времени.

Т.е. подтверждается вывод о том, что переход в стационарный режим для состояния смеси происходит раньше, чем в состояния и.

Исследуем время перехода в состояние «жесткого» гомеостаза, когда >> , например , =10:

,

₁=-7.8

P₀(t) = 0,9+0,06e ^{–7,8 t} +0,04e ^{–14,16 t}

P₁(t) = 0,09+0,043e ^{–7,8 t} -0,048e ^{–14,16 t}

P₂(t) = 0,009+0,02e ^{–7,8 t} +0,011e ^{–14,16 t}

При и величине порогаимеем

для :,,

для :,,

для :,.

То есть подтверждается вывод о том, что время перехода в этом случае имеет разное значение для стационарных режимов.

Для более наглядного изучения зависимости вероятностей состояний АС от параметра λ и времени t были построены трехмерные графики

_{Приведенные графики показывают, что при больших значениях времени функционирования t (больше времени переходного режима) вероятности состояний мало зависят от параметров λ и μ .}

_{Исследуем более подробно влияние отдельных параметров  и  на вероятности состояний в амбивалентных системах для «мягкого» и «жесткого» гомеостаза.}

«Мягкий» гомеостаз.

Возьмем производную по параметру λ.

_{Ниже на рисунке 2.12 приведены графики зависимости производных для трех состояний от λ при t =0,13.}

_Рис.2.12

Из графика видно, что в состоянии «мягкого» гомеостаза, когда ,для малых значений времени функционирования, вероятности состояний амбивалентной системы зависят от параметра λ. Причем, чем больше этот параметр, тем меньше зависимость.

Исследуем зависимость от параметра λ при больших значениях времени _{функционирования t = 5,0. На рис.2.13 показаны такие зависимости для всех трех состояний системы.}

Рис.2.13

Из графика видно, что в состоянии “мягкого” гомеостаза, когда при больших значениях времени функционирования вероятности состояний не зависят от величины параметра , когда>=1.

«Жесткий» гомеостаз.

Возьмем производную по параметру 

Для времени функционирования амбивалентных систем равной t =0,13 на рис. 2.14 показаны графики зависимости вероятностей состояний от λ.

Рис.2.14

Видно, что в режиме «жесткого» гомеостаза при малых значениях времени функционирования эти вероятности зависят по-разному в зависимости от величины λ: при малых значениях λ есть зависимость, а при λ ≥ 3 такой зависимости нет.

Также было проведено исследование поведения системы в этом режиме при больших временах функционирования системы и на рисунке 2.15 приведены графики соответствующих зависимостей.

Рис.2.15

Из приведенных графиков зависимости производной вероятностей состояний амбивалентных систем от параметра в режиме «жесткого» гомеостаза при больших значениях времени функционирования видно, что вероятности состояний не зависят от величиныдлязначительно больше единицы.

Исследуем поведение амбивалентной системы во времени при различных комбинациях значений параметров этих систем в режимах «мягкого» и «жесткого» гомеостаза и начальных состояний.

_{Вариант 1. «Мягкий» гомеостаз: λ=1 µ=1.}

Рис.2.16

На рис.2.16 показан график зависимости вероятностей состояний амбивалентной системы для «мягкого» гомеостаза, когда эта система в начальный момент времени находится в состоянии А.

Из графика видно, что время перехода в состояние смеси меньше, чем в другие состояния.

_{Вариант 2. «Мягкий» гомеостаз: λ=1 µ=1.}

Рис.2.17

На рис.2.17 показан график зависимости вероятностей состояний амбивалентной системы для «мягкого» гомеостаза, когда эта система в начальный момент времени находится в состоянии .

Из графика видно, что время перехода в стационарный режим, когда вероятности всех состояний равны между собой, одинаково для всех состояний.

_{Вариант 3. «Мягкий» гомеостаз: λ=1 µ=1.}

Рис.2.18

На рис.2.18 показан график зависимости вероятностей состояний амбивалентной системы для установившегося режима («мягкого» гомеостаза) в точке равновесия, когда эта система в начальный момент времени находится в состоянии . Из графика видно, что время перехода в состояние смеси меньше, чем в другие состояния.

_{Вариант 4. « Жесткий» гомеостаз: λ=1 µ=10.}

Рис.2.19

На рис.2.19 показан график зависимости вероятностей состояний от времени для амбивалентной системы, когда эта система находится во втором установившемся гомеостатическом режиме («жесткий» гомеостаз). Из графика видно, что амбивалентная система приходит в этот установившейся режим практически одновременно для всех трех состояний. Обращает на себя внимание тот факт, что вероятность состояния остается весьма незначительной, а вероятность смеси возрастает, но также незначительно.

_{Вариант 5. «Жесткий» гомеостаз: λ=1 µ=10.}

Рис.2.20

На рис.2.20 показан график зависимости вероятностей состояний от времени для амбивалентной системы, когда эта система находится во втором установившемся гомеостатическом режиме. Из графика видно, что такая система приходит в установившийся режим практически одновременно для всех трех состояний. Обращает на себя внимание тот факт, что вероятность состояния остается весьма незначительной.

_{Вариант 6. «Жесткий» гомеостаз: λ=1 µ=10.}

Рис.2.21

На рис.2.21 показан график зависимости вероятностей состояний от времени для амбивалентной системы, когда эта система находится во втором установившемся гомеостатическом режиме («жесткий» гомеостаз). Из графика видно, что такая система приходит в установившийся режим практически одновременно для всех трех состояний.

_{Вариант 7. «Жесткий» гомеостаз: λ=10 µ=1.}

Рис.2.22

Из графика рис.2.22 видно, что этот вариант аналогичен варианту 6.

_{Вариант 8. «Жесткий» гомеостаз: λ=10 µ=1.}

Рис.2.23

Из графика рис.2.23 видно, что этот вариант аналогичен варианту 5 . _{Полученные результаты подтверждают вывод о том, что влияние параметров λ и µ на процессы, происходящие в амбивалентных системах одинаково.}

_{Вариант 9. «Жесткий» гомеостаз: λ=10 µ=1.}

Рис.2.24

Из графика на рис.2.24 видно, что этот вариант аналогичен варианту 4 с тем отличием, что все интерпретируется по отношению к состоянию .