4. Содержание отчета

4.1. Модель инвестиционного рынка.

4.2. Множество эффективных портфелей.

4.3. Результаты экспериментов.

4.4. Выводы по работе.

Библиографический список

1. Касимов Ю.Ф. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг. М.: Филинъ, 1998. 144 с.

2. Шведов А.С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг. М.: ГУВШЭ, 1999. 144 с.

3. Шарп У.Ф. и др. Инвестиции. М.: Высшая школа, 1993. 668 с.

4. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ. М.: Высшая школа, 1989. 367 с.

Лабораторная работа № 2 Управление в модели Солоу

Цель работы: исследование макроэкономической модели роста и управление экономическими показателями в ней.

1. Краткие сведения о модели Солоу

Под экономическим ростом национального хозяйства подразумевается такое его развитие, при котором увеличивается национальный доход. Мерой экономического развития служит темп роста или прироста национального дохода. Одной из моделей, описывающей рост экономики, является одноот- раслевая модель Солоу [1 - 3], в которой предложение товаров определяется производственной функцией Y=F(K,L)с постоянной отдачей от масштаба, гдеK, L- объемы капитала и используемого труда.

В модели Солоу учитывается потребительский и инвестиционный спрос на произведенный в текущий момент времени продукт Y[i]=I[i]+C[i]. Потребление и объем инвестиций выражаются через национальный доходY[i]

(2.1)

(2.2)

где s[0,1] - норма сбережения (накопления), показывающая какая часть дохода сберегается. При равенстве инвестиций сбережениям нормаsопределяет, какая часть произведенной продукции направляется на капитальные вложения.

Инвестиции позволяют увеличить объем реального капитала на K[i]=K[i+1]-K[i]и скомпенсировать выбытие капитала, пропорциональное его запасамK[i], где- норма выбытия капитала,

(2.3)

На основании (2.2) и (2.3) можно описать динамику капитала

. (2.4)

Для упрощения анализа модели перейдем к новым переменным - капиталовооруженности труда , производительности труда, удельному потреблениюи введем в рассмотрение однофакторную производственную функцию. Теперь базовую модель Солоу при неизменном объеме трудаL[i]=Lможно представить совокупностью выражений (2.1), (2.2), (2.4) [2]

(2.5)

где .

Обозначим через k[i]решение разностного уравнения (2.5), для которого выполняется условиеlim k[i]=k*при[1]. Величинаk*>0определяет уровень капиталовооруженности, при котором инвестиции и выбытие капитала сбалансированы, т.е.k[i]=0иk[i]=sf(k[i]). Эту ситуацию называют стационарным (равновесным) состоянием экономики, которое будет устойчивым, если экономическая система после возмущения возвращается в прежнее состояние.

Возвращение к исходным переменным осуществляется по правилу

. (2.6)

Из баланса k*=sf(k*)в стационарном состоянии следует, что капиталовооруженностьk*является функцией нормы сбережения и темпа выбытия капиталаk*/f(k*)=s/. Из множества равновесных состояний, характеризуемых величинойk*, политик, заинтересованный в экономическом благосостоянии, выберет состояние с наивысшим уровнем потребления. Величинаk*обеспечивающая наивысший уровень потребления, называется "золотым" уровнем накопления капитала, а выбор такой величины - "золотым" правилом [2].

"Золотому" уровню накопления капитала соответствует оптимальная норма сбережения s*, при которой удельное потребление достигает максимума. С другой стороны, при капиталовооруженности на уровне "золотого" правила предельный продукт капиталаdF(K,L)/dKравен норме выбытия капитала.

Базовая модель Солоу не объясняет непрерывного экономического роста, наблюдаемого во многих развитых странах. Увеличение уровня сбережений лишь временно увеличивает темп роста и экономика, в конце концов, приходит к устойчивому стационарному состоянию k*, в котором запасы капиталаK=k*Lи объем производстваY=Lf(k*)постоянны. Поэтому базовую модель расширяют, включая в нее два других источника экономического роста: рост трудовых ресурсов и технологический прогресс.

Будем считать, что рост трудовых ресурсов осуществляется с постоянным темпом прироста (темпом роста 1+так чтоL[i+1]=(1+)L[i]илиL[i]=(1+)ⁱL₀, гдеL₀ - начальный уровень труда. Перейдем к капиталовооруженности в формуле (2.4), сделав заменуK[i]=k[i]L[i]. В результате получаем расширенную модель Солоу [2]

(2.7)

Первое уравнение (2.7) показывает, что рост рабочей силы уменьшает капиталовооруженность, распределяя капитал между большим числом работающих. Теперь инвестиции sf(k[i])=(1+)k[i]k[i]+k[i] используются для восстановления изнашиваемого капиталаk[i], обеспечения новых рабочих капиталом на прежнем уровне капиталовооруженностиk[i] и увеличения реального капитала с учетом темпа роста трудовых ресурсов(1+)k[i].

Рост населения дополняет базовую модель Солоу по трем направлениям. Во-первых, в устойчивом состоянии экономики капиталовооруженность и производительность труда остаются неизменными, т.е. темпы их прироста равны нулю. Вместе с тем количество работников растет с темпом следовательно, капитал и объем производства тоже растут с темпом

(2.8)

где K₀=k*L₀ , Y₀=f(k*)L₀.

Таким образом, рост населения объясняет непрерывное увеличение выпуска конечного продукта. Развитие экономики, при котором экономические показатели увеличиваются с одинаковым темпом, называется сбалансированным ростом.

Во-вторых, увеличение темпа прироста населения приводит к уменьшению капиталовооруженности в стационарном состоянии k*=sf(k*), что снижает производительность трудаy*=f(k*). Так, в модели предсказывается, что страны с более высокими темпами роста населения будут иметь более низкий уровень дохода на душу населения.

В-третьих, максимум удельного потребления достигается при такой капиталовооруженности k*, которой соответствует предельная производительность капиталаdf(k*)/dk=+.

Теперь включим в модель трудосберегающий технологический прогресс, несколько видоизменив производственную функциюY=F(K,LG), гдеG- представляет собой новую переменную, которую называют эффективностью труда рабочего [2]. Эффективность труда зависит от здоровья, образования, культуры, квалификации и т.д. рабочей силы. При числе работниковLи эффективности труда каждого из нихGвеличинаLGопределяет количество эффективных единиц рабочей силы. Простейшее допущение относительно технологического прогресса - он вызывает прирост эффективности труда с постоянным темпомG[i]/G[i], обеспечивая ее ростG[i]=(1+)ⁱG₀, гдеG₀- начальная эффективность труда.

Обозначим через капиталовооруженность, а черезпроизводительность эффективного труда и запишем разностное уравнение (2.4) относительно капиталовооруженности

(2.9)



С учетом незначительности величины уравнение (2.9), описывающее динамику капиталовооруженности, можно привести к виду

(2.10)

С течением времени экономическая система, как и ранее, стремится к устойчивому состоянию равновесия, характеризуемому постоянными значениями k*иy*. В этом состоянии трудовые ресурсы, капитал, объем производства, инвестиции и потребление увеличиваются с темпом прироста (), обеспечивая сбалансированный рост экономики

(2.11)

При этом выпуск на одного работника y=Y/L=ⁱf(k*)G₀также растет с темпом приростаТем самым модель Солоу показывает, что только технологический прогресс может объяснить непрерывно растущий уровень жизни.