Определение процессов в импульсных системах при типовых воздействиях.

При исследовании импульсных САР обычно интересуются процессами, возникающими на выходе системы при некоторых типовых воздействиях, приложенных ко входу. Ими являются , например еденичное ступенчатое или гармоническое воздействие.

Применим Z-преобразование для определения реакции импульсной системы на указанные воздействия при нулевых начальных условиях.

Пусть передаточная функция замкнутой системы Ф(z,) .

Изображение g(t)=1[t].

G[z] =Z{1[t]}=z/(z-1)

В этом случае процесс на выходе системы можно определить по формуле

x [n,]=Z^-1{Ф(z, )G(z)} или

x [n,]=Z^-1{Ф(z, )z/(z-1))}

Для вычисления обратного Z-преобразования воспользуемся формулой (теорема вычетов)

x [n,]= Res Ф(z,) z/(z-1) nz^n-1_z=z

где вычеты берутся в полюсе z₀=1 и в полюсах передаточной функцииФ(z, ). Будем предполагать (для простоты изложения) что все полюсы ненулевые.

Найдем вычет в точке z₀=1 по формуле

.

Далее определим вычеты в полюсах передаточной функции ф(z,). Для простых полюсов получим

Учитывая, что ф(z,) является дробно-рациональной по отношению к переменной z и обозначая

Ф(z,)= B(z,)/ A(z) ,

где A(z) и B(z) – полиномы относительно z

и, представляя

,

найдем

т.к.

.

В результате получим

,где

.

Полученное выражение характеризует реакцию импульсной системы на единичное ступенчатое воздействие. Первое слагаемое, описывает установившийся процесс в системе, а второе - переходный.

Действительно, определим

Аналогично можно найти реакцию системы на гармоническое воздействие

g[n]=A₁cos(₁n+) , получим , после окончания переходного процесса, установившийся процесс.

x_y[n,]=A₁| Ф(j,)| cos[₁n+ +arg Ф(j,)]

Функция Ф(j,) получающаяся из передаточной функции Ф(e^q,) при q=j, называется амплитудно-фазовой частной характеристикой импульсной системы. Физический смысл тот же, что и в непрерывных системах.

В отличие от непреывных систем , частотные характеристики импульсных систем являются периодичискими функциями с периодом 2, что следует из периодичности изображений

Ф(j,)=Ф[j(+2r),] (r=0,1,2...,)

Поэтому частотная характеристика Ф (j,) полностью определяется своими значениями в интервале шириной 2. Обычно рассматривают интервал -<. Импульсная система при 0<1 описывается семейством частотных характеристик. Однако при исследованиях, в ряде случаев достаточно знать частотную характеристику только при одном значении =1.

Анализ устойчивости дискретных систем.

Дискретная система автоматического регулирования устойчива, если переходные процессы в ней затухает с течением времени.

По аналогии с непрерывными, выражение для реакции ДАС на произвольный входной сигнал g(t) может быть представлена в виде суммы переходной x_п и установившихся x_у составляющих

x[n,]= x_п[n,]x_у[n,]

С математической точки зрения определение устойчивости сводится к выполнению равенства

lim x[n,]=0

n

Ранее полученное выражение для переходной составляющей имеет вид:

Из этого выражения следует очевидное условие устойчивости

.

Иными словами, для устойчивости необходимо, чтобы все корни характеристического полинома A(z) замкнутой системы (полюсы передаточной функции замкнутой системы)

A(z)=a₀z^k+a₁z^k-1+..+a_k

были расположены внутри окружности единичного радиуса в плоскости комплексного переменногоz.

Таким образом, исследование

устойчивости ДАС сводится к

изучению расположения корней

х

1

арактеристического полинома

относительно единичной

окружности.

При этом следует иметь в виду что ДАС реагирует не на сигнал g(t),а наg[n]из-за наличия импульсного элемента.

Поэтому условие гарантирует затухание переходной составляющей только в дискретные моменты nT, т.е. возможны случаи (крайне редкие) “скрытой” неустойчивости, когдаx_п[n]затухает, аx(t)не затухает или расходится.

При исследовании устойчивости

ДАС могут применяться все

критерии устойчивости

непрерывных систем.