Задачи.

В задачах 1.17.-1.22. доказать справедливость следующих то­ждеств:

1.17. А + А = А, АА = А, А + Ø = А, АØ = Ø , АΩ = А, А + Ω = Ω.

1.18. =Ø, ┐Ø = Ω,Ø.

1.19. а) (правила де Моргана), б) Обобщить правила де Моргана на произвольное число п собы­тий.

1.20**. АВ + С = (А + С)(В + С) (дистрибутивность сложения относительно умножения).

1.21. .

1.22*. (А + В) - В = А - АВ = = А - В.

Замечание. Этот пример показывает, что «приведение подоб­ных членов» в алгебре событий недопустимо.

1.23. Пусть А, В и С—события, наблюдаемые в эксперименте причем А и В несовместны. Показать, что события АС и ВС также несовместны.

1.24. Показать, что:

а) если А В,то выполняются соотношения АВ = А, А + В = В; (**)

б) из справедливости любого из соотношений (**) следует А В.

1.25. Пусть А и В — наблюдаемые события в эксперименте. Показать, что событие А + В можно разложить на сумму несовместных событий следующими способами:

а) А + В = А+(В - АВ);б) ;в) .

1.26*. Показать, что если , то.

1.27. Показать, что если, то (А - В) + В = А.

Доказать тождества:

1.28. .

1.29. .

1.30. .

1.31*. АС-В = АС- ВС.

1.32*. (А - В) + (А - С) = А - ВС.

Симметрическая разность двух событий А∆В определяется следу­ющим образом:

А∆В=(А - В) + (В - А).

Доказать следующие тождества:

1.33. А∆В = (А + B) - АВ.

1.34..

1.35. .

1.36. Пусть С = А∆В. Доказать, что А∆С = В.

1.37. Найти случайное событие X из равенства

1.38**. Доказать, что А — В = Ø тогда и только тогда, когда А В.

1.39*. Очередной посетитель входит в зал музея, где уже со­бралось 2n человек, и начинает отыскивать знакомых среди со­бравшихся. Интересующие нас события: А = {среди собравшихся найдется п человек, знакомых посетителю}, В = {среди собрав­шихся найдется п человек, не знакомых посетителю}. Доказать, что события А + В и достоверные.

Пусть А, В, С — три события, наблюдаемые в данном экспе­рименте. В задачах 1.40.-1.42. выразить указанные события в алгебре событий.

1.40. Е₁ = {из трех событий А, В, С произойдет ровно одно}, F₁ = {из трех событий А, В, С произойдет ровно два}.

1.41. Е₂ = {из трех событий А, В, С произойдет хотя бы одно}, F₂ = {из трех событий А, В, С произойдет не меньше двух}.

1.42. Е₃ = {из трех событий А, В, С не произойдет ни од­ного}, F₃ = {из трех событий А, В, С произойдет хотя бы два}, G = {из трех событий А, В, С не произойдет хотя бы одно}.

1.43. Поражение боевого самолета может наступить или в ре­зультате поражения обоих двигателей (события D₁ и D₂), или в результате попадания в кабину пилота (событие К). Произво­дится длительный обстрел самолета из зенитного орудия. Любое попадание в соответствующий агрегат приводит к его поражению. Пусть событие А = {поражение самолета}.

а) Описать множество элементарных исходов.

б) Записать А в алгебре событий как непосредственно с помощью событий D₁, D₂ и К, так и через элементарные исходы.

в)** Получить из второй записи первую путем допустимых ал­гебраических преобразований.

1.43. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис. 1.10 Событие A_k = {элемент с номером k вышел из строя}, k = 1, 2, 3, 4. Событие В = {разрыв цепи}. Выразить событие В в алгебре событий А₁, А₂, А₃, А₄.

рис. 1.10

1.44. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис. 1.11 Событие A_k = {элемент с номером k вышел из строя}, k = 1, 2, 3, 4, 5. Событие В = {разрыв цепи}. Выразить событие В в алгебре событий А₁, А₂, А₃, А₄, А₅.

рис. 1.11

1.45. На отрезке [а, b] наудачу ставятся две точки. Пусть х и y - координаты этих точек. Изобразить на плоскости Оху обла­сти, соответствующие событиям Ω, А, В, АВ, А- В, А + В, где А = {вторая точка ближе к левому концу отрезка, чем первая точка к правому концу}, В = {расстояние между точками меньше половины длины отрезка}.

1.46. Произведено три выстрела из орудия по цели. Событие A_k= {попадание при k-м выстреле} (k = 1, 2, 3).

а) Выяснить состав множества Ω, выразив каждый элементарный исход через событияA_k.

б) Записать в алгебре событий следующие события:

А = {ровно одно попадание}, В = {хотя бы одно попадание}, С = {хотя бы один промах}, D = {не меньше двух попаданий}, Е = {попадание не раньше, чем при третьем выстреле}.

1.47. Из ящика, содержащего 10 деталей, из которых 3 бракованных, наудачу последовательно и без возвращения извлекается по одной детали до появления бракованной, после чего опыт пре­ кращается. Обозначим исход i-го испытания = {бракованная деталь появится при i-м испытании}. Рассмотрим событие А = = {придется производить третье по счету извлечение детали}.

а) Сконструировать элементарные исходы данного опыта с помощью алгебраических операций над исходами,i = 1, 2, ...

б) Записать событие А через элементарные исходы и упро­стить запись путем алгебраических преобразований.

1.48. Два баскетболиста по очереди бросают мяч в корзину до первого попадания. Выигрывает тот, кто первый забросит мяч. События: А_k = {первый баскетболист попадает при своем k-м броске}, B_k = {второй баскетболист попадает при своем k-м броске}; A = {выигрывает первый баскетболист}, В = {выигрывает вто­рой}. Первый баскетболист бросает первым. Определить состав множества элементарных исходов и записать события А и В в ал­гебре событий.

1.49. Показать, что совокупность элементарных исходов лю­бого эксперимента с конечным множеством Ω образует разбиение множества Ω.

1.50. Эксперимент состоит в раскладывании наудачу трех занумерованных шаров по трем ящикам. В каждый ящик может поместиться любое число шаров. Наблюдаемый результат – тройка чисел (i, j, k), где i, j, k – номера ящиков, в которые попали соответственно первый, второй и третий шары. События А={первый ящик пустой}, В={в каждый ящик попало по одному шару}, С={все шары попали в один ящик}.Образуют ли события А, В и С полную группу событий?

1.51. Показать, что система событий , где D₁, D₂ и К — наблюдаемые события в экспери­менте, описанном в задаче 1.43., образует разбиение множества Ω, для данного эксперимента.

1.52. Множество элементарных исходов некоторого экспери­мента состоит из четырех исходов. Сколько различных разбиений можно составить для данного множества?

Пусть А — произвольное наблюдаемое в некотором экс­перименте событие такое, что А Ωи А Ø. Показать, что система множеств образует разбиение множества Ω.

Пусть Ω = {1, 2, 3, ... } — множество натуральных чи­сел. Показать, что система {S₁, S₂, S₃}, где S₁ = {х | х = 3п; п = 1, 2, 3, ...}, S₂ = {x | x =3п - 1; n = 1, 2, 3, .,.}, S₃ = { х | х = 3п - 2; п = 1, 2, 3, ... }, образует разбиение множества Ω.

1.53. Для некоторого эксперимента множество Ω содержит ров­но п элементарных исходов. Показать, что число всех наблюдае­мых событий, содержащихся в поле событий для данного экспери­мента, равно 2^п.

1.54. Случайным образом выбирают одну из 28 костей домино. Опишите пространство элементарных исходов Ω.

Перечислите все элементарные исходы, из которых состоят следующие события:

а) А – на выбранной кости очки совпадают;

б) В – сумма очков на выбранной кости равна шести;

в) С – произведение очков на кости нечетно;

г) B/A; д) АВ; е) АС; ж) АВ/С; з) (А В) С.

1.55. По мишени производят три выстрела. Пусть событие A_i i = 1, 2, 3, - попадание при i-м выстреле. Представьте в виде объединения и пересечения событий иследующие события:

а) А – три попадания в мишень;

б) В – три промаха;

в) С – хотя бы одно попадание;

г) D – хотя бы один промах;

д) E – не менее двух попаданий;

е) F – не больше одного попадания;

ж) G – попадание в мишень не раньше, чем при третьем выстреле.

1.56. Пусть А, В, С – случайные события. Выясните смысл равенств:

а) АВС = А; б) А В С = А.

1.57. Пусть А В. Упростите выражения:

а) АВ; б) А В = B; в) АВС; г) А В С.

1.58. Используя свойства операций над событиями, докажите следующие равенства:

а) ; б).

1.59. Два игрока играют в шахматы. Событие А – выиграл первый игрок; событие В – выиграл второй игрок. что означают события:

а) ; б); в).

1.60. Схема электрической цепи приведена на рис. 1.12 через участок схемы, вышедши из строя, ток не проходит. Пусть событие A_i – выход из строя элемента i, i = . Выразите события ичерез события, еслиА – выход из строя всей схемы.

рис. 1.12

1.61. На рис. 1.13 представлена структурная схема надежности некоторой системы. Пусть события А и А_i означают отказ системы и i – го элемента соответственно, i = . Выразите события ичерез событияА_i и ,i = .

рис. 1.13