![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Дискретные системы автоматического управления. Основные положения.
- •Математические методы описания дискретных систем Решетчатые функции
- •В соответствии с этим значение рассматриваются на полуинтервале
- •Функции f[nT, t] являются функциями двух переменных (аргументов) n и , поэтому целесообразно обозначать эти функции как
- •Дискретное преобразование Лапласа.
- •Свойства z-преобразования.
- •Передаточные функции дискретных систем
- •Определение процессов в импульсных системах при типовых воздействиях.
- •Далее определим вычеты в полюсах передаточной функции ф(z,). Для простых полюсов получим
- •Учитывая, что ф(z,) является дробно-рациональной по отношению к переменной z и обозначая
- •Анализ устойчивости дискретных систем.
- •Критерий Рауса-Гурвица.
- •Частотные характеристики
- •Построение лчх дискретных систем Построение низкочастотной части лчх
- •Построение высокочастотной части цифровых систем с экстраполятором нулевого порядка.
- •Синтез цифровых систем автоматического регулирования. Обеспечение заданной точности.
- •Расчет дискретных корректирующих средств.
Определение процессов в импульсных системах при типовых воздействиях.
При исследовании импульсных САР обычно интересуются процессами, возникающими на выходе системы при некоторых типовых воздействиях, приложенных ко входу. Ими являются , например еденичное ступенчатое или гармоническое воздействие.
Применим Z-преобразование для определения реакции импульсной системы на указанные воздействия при нулевых начальных условиях.
Пусть передаточная функция замкнутой системы Ф(z,) .
Изображение g(t)=1[t].
G[z] =Z{1[t]}=z/(z-1)
В этом случае процесс на выходе системы можно определить по формуле
x [n,]=Z-1{Ф(z, )G(z)} или
x [n,]=Z-1{Ф(z, )z/(z-1))}
Для вычисления обратного Z-преобразования воспользуемся формулой (теорема вычетов)
x
[n,]=
Res
Ф(z,)
z/(z-1)
nzn-1z=z
где
вычеты берутся в полюсе z0=1
и в полюсах
передаточной функцииФ(z,
).
Будем
предполагать (для простоты изложения)
что все полюсы
ненулевые.
Найдем вычет в точке z0=1 по формуле
.
Далее определим вычеты в полюсах передаточной функции ф(z,). Для простых полюсов получим
Учитывая, что ф(z,) является дробно-рациональной по отношению к переменной z и обозначая
Ф(z,)= B(z,)/ A(z) ,
где A(z) и B(z) – полиномы относительно z
и, представляя
,
найдем
т.к.
.
В результате получим
,где
.
Полученное выражение характеризует реакцию импульсной системы на единичное ступенчатое воздействие. Первое слагаемое, описывает установившийся процесс в системе, а второе - переходный.
Действительно, определим
Аналогично можно найти реакцию системы на гармоническое воздействие
g[n]=A1cos(1n+)
, получим , после окончания переходного
процесса, установившийся процесс.
xy[n,]=A1|
Ф(j,)|
cos[
1n+
+arg
Ф(j
,)]
Функция
Ф(j,)
получающаяся из передаточной функции
Ф(eq,)
при q=j
,
называется амплитудно-фазовой частной
характеристикой импульсной системы.
Физический смысл тот же, что и в непрерывных
системах.
В отличие от непреывных систем , частотные характеристики импульсных систем являются периодичискими функциями с периодом 2, что следует из периодичности изображений
Ф(j,)=Ф[j(
+2r),] (r=0,1,2...,)
Поэтому
частотная характеристика Ф
(j,)
полностью определяется своими значениями
в интервале шириной 2.
Обычно рассматривают интервал -<
.
Импульсная система при 0<1
описывается семейством частотных
характеристик. Однако при исследованиях,
в ряде случаев достаточно знать частотную
характеристику только при одном значении
=1.
Анализ устойчивости дискретных систем.
Дискретная система автоматического регулирования устойчива, если переходные процессы в ней затухает с течением времени.
По аналогии с непрерывными, выражение для реакции ДАС на произвольный входной сигнал g(t) может быть представлена в виде суммы переходной xп и установившихся xу составляющих
x[n,]= xп[n,]xу[n,]
С математической точки зрения определение устойчивости сводится к выполнению равенства
lim
x[n,]=0 n
Ранее полученное выражение для переходной составляющей имеет вид:
Из этого выражения следует очевидное условие устойчивости
.
Иными словами, для устойчивости необходимо, чтобы все корни характеристического полинома A(z) замкнутой системы (полюсы передаточной функции замкнутой системы)
A(z)=a0zk+a1zk-1+..+ak
были
расположены внутри окружности единичного
радиуса в плоскости комплексного
переменногоz.
Таким образом, исследование
устойчивости ДАС сводится к
изучению расположения корней
х
1
относительно единичной
окружности.
При этом следует иметь в виду что ДАС реагирует не на сигнал g(t),а наg[n]из-за наличия импульсного элемента.
Поэтому
условие
гарантирует затухание переходной
составляющей только в дискретные моменты
nT, т.е. возможны
случаи (крайне редкие) “скрытой”
неустойчивости, когдаxп[n]затухает, аx(t)не затухает или расходится.
При
исследовании устойчивости
ДАС могут применяться все
критерии устойчивости
непрерывных систем.