1.12. Линейные свойства неопределённого интеграла

Свойство 1. Неопределённый интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от каждой из этих функций, т.е.

(1.4)

Пусть и- первообразные функцийисоответственно. Тогда- первообразная функции, поскольку. Следовательно,

Отметим, что свойство 1 справедливо для любого числа слагаемых функций.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла, т.е. если , то

(1.5)

Пусть - первообразная функции. Тогда- первообразная функции, поскольку.

Отсюда следует, что

.

Здесь .

Следствие 1.4. Неопределённый интеграл от линейной комбинации функцийиравен линейной комбинации интегралов от этих функций, т.е.

(1.6)

Здесь и- любые действительные числа.

Отметим, что аналогичное утверждение справедливо для линейной комбинации любого конечного числа функций.

Примеры 1.10.

1.13. Дифференциал неопределённого интеграла

Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции. Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

(1.7)

Действительно,

1.14. Неопределённый интеграл от дифференциала

Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

(1.8)

Действительно, поскольку

то .

1.15. Непосредственное интегрирование

В некоторых случаях подынтегральную функцию удаётся представить в виде линейной комбинации конечного числа функций, интегралы от которых являются табличными. Тогда говорят, что неопределённый интеграл вычисляется непосредственно или методом разложения.

Примеры 1.11.

1.16. Метод замены переменной. Основные теоремы

Метод замены переменной, или метод подстановки – один из основных методов интегрирования. Этот метод основан на следующей теореме.

Теорема 1.3. Пусть функция - первообразная функциина промежутке. Пусть– некоторая дифференцируемая функция, множеством значений которой является промежуток. Тогда сложная функцияесть первообразная функции.

Доказательство. Используя правило дифференцирования сложной функции (правило «цепочки»), получим:

Пример 1.12. - первообразная функциина промежутке. Дифференцируемая функцияимеет область значений. Сложная функция- первообразная функции.

Суть теоремы 1.3. можно представить схематически:

(1.9)

Формулы интегрирования сохраняют свою структуру

– инвариантны –

при замене независимой переменной

на любую дифференцируемую функцию ,

имеющую соответствующую область значений.

Примеры 1.13.

;

.