- •Коэффициент эластичности
- •Обобщенный метод наименьших квадратов.
- •Регрессионные модели с переменной структурой
- •X1, x2,…, xk – экономические переменные.
- •Распространенность ручного труда на предприятиях одной отрасли в зависимости от уровня автоматизации производства.
- •Результаты однофакторного дисперсионного анализа (двухфакторной регрессионной модели с фиктивными переменными).
- •Зависимость расходов на антиквариат от доходов условных денежных единиц
- •77 См. Например, г. Аптон. Анализ таблиц сопряженности. Перевод с англ. М.: Статистика, 1982.
Коэффициент эластичности
формула расчета коэффициента эластичности:
,
где f'(x) - первая производная, характеризующая соотношение приростов результата и фактора для соответствующей формы связи.
Для степенной функции она составит: . Соответственно, коэффициент эластичности окажется равным:
Коэффициент эластичности только для степенной функции он представляет собой постоянную величину, равную параметру b. В других функциях коэффициент эластичности зависит от значений фактора x. Так, для линейной регрессии производная функции и эластичность следующие:
и .
В силу того, что коэффициент эластичности для линейной функции не является величиной постоянной, а зависит от соответствующего значения x, то обычно рассчитывается средний показатель эластичности по формуле:
.
Для оценки параметров степенной функции применяется МНК к линеаризованному уравнению , т.е. решается система нормальных уравнений:
Параметр b определяется непосредственно из системы, а параметр a - косвенным путем после потенцирования величины ln a. Так, решая систему нормальных уравнений для зависимости спроса от цен, было получено уравнение: . Если потенцировать его, получим:
.
Поскольку параметр a экономически не интерпретируется, то нередко зависимость записывается в виде логарифмически-линейной, т.е. .В виде степенной функции изучается не только эластичность спроса, но и предложения. При этом обычно эластичность спроса характеризуется параметром b<0, а эластичность предложения - b>0.
Поскольку коэффициенты эластичности представляют экономический интерес, а виды моделей не ограничиваются только степенной функцией, приведем формулы расчета коэффициентов эластичности для наиболее распространенных типов уравнений регрессии.
Таблица 2.5.
Коэффициенты эластичности для ряда математических функций.
Вид функции, |
Первая производная, |
Коэффициент эластичности, |
линейная |
|
|
парабола |
|
|
гипербола |
||
показательная |
|
|
степенная |
|
|
полулогарифмическая |
||
логистическая |
|
|
обратная |
|
|
Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет экономического смысла не имеет. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения значений в процентах. Например, вряд ли кто будет определять, на сколько процентов может измениться заработная плата с ростом стажа работы на 1%. Или, например, на сколько процентов изменится урожайность пшеницы, если качество почвы, измеряемое в баллах, изменится на 1%. В такой ситуации степенная функция, даже если она оказывается наилучшей по формальным соображениям (исходя из наименьшего значения остаточной вариации) не может быть экономически интерпретирована. Например, изучая соотношение ставок межбанковского кредита y (в процентах годовых) и срока их предоставления x (в днях), было получено уравнение регрессии: с очень высоким показателем корреляции (0,9895). Коэффициент эластичности 0,352% лишен смысла, ибо срок предоставления кредита не измеряется в процентах. Значительно больший интерес для этой зависимости может представить линейная функция , имеющая более низкий показатель корреляции 0,85. Коэффициент регрессии 0,403 показывает в процентных пунктах изменение ставок кредита с увеличением срока их предоставления на 1 день.