- •Уравнение поверхности в пространстве.
- •Классификация поверхностей.
- •Плоскость в пространстве.
- •Неполные уравнения плоскости.
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
- •(4) Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки.
- •Уравнение плоскости в отрезках на осях.
- •Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •Нормированное (нормальное) уравнение плоскости.
- •Пучки и связки плоскостей.
- •Прямая в пространстве.
- •Общие уравнения прямой в пространстве.
- •Канонические уравнения прямой.
- •Параметрические уравнения прямой.
- •Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Расстояние между двумя прямыми в пространстве.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •1. Пересечение прямой и плоскости.
- •Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности.
- •Условие параллельности прямой и плоскости.
Пучки и связки плоскостей.
Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую L, называется пучком плоскостей (с центром в L).
Теорема. (б.д.?)Если A1x+В1у+С1z+D1=0 и A2x+В2у+С2z+D2=0 уравнения двух различных непараллельных плоскостей, пересечением которых служит некоторая прямая L, а и - произвольные числа такие, что 2+20, то
(A1x+В1у+С1z+D1)+(A2x+В2у+С2z+D2)=0 (15)
уравнение плоскости, проходящей через прямую L.
Какова бы ни была проходящая через прямую L плоскость, она определяется уравнением (15) при некоторых и .
Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же точку М0(х0;у0;z0), называется связкой плоскостей (с центром в М0).
Уравнение связки с центром в точке М0(х0;у0;z0) имеет вид
А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0 (16), где А2+В2+С20
Прямая в пространстве.
Общие уравнения прямой в пространстве.
Т.к. линия в пространстве задается как линия пересечения 2-х поверхностей, то прямая в пространстве может быть задана как пересечение 2-х плоскостей:
A1x+B1y+C1z+D1=0 (1) – общее уравнение прямой
A2x+B2y+C2z+D2=0
Прямая задается либо 2-мя точками, либо точкой и направлением.
Канонические уравнения прямой.
Найдем уравнение прямой L, проходящей через точку М0(х0;у0;z0) параллельно вектору q=(l;m;n) - направляющий вектор прямой.
Пусть М(х;у;z) – переменная точка прямой. Тогда вектор М0М=(x-x0)i+(y-y0)j+(z-z0)k || q=(l;m;n).
Учитывая условие параллельности векторов получаем:
(2) – каноническое уравнение прямой.
В канонических уравнениях (2) одно или два из чисел l,m и n могут быть равны нулю (все три не могут равняться нулю, т.к. вектор q={l,m,n} – ненулевой). Всякую пропорцию понимаем как равенствоad=cb. Тогда обращение в нуль одного из знаменателей в (2) означает обращение в нуль и соответствующего числителя. Так, например, если l=0, то m0 и из равенства l(y-y0)=m(x-x0) х-х0=0, т.е. х=х1 – уравнение прямой, параллельной оси Ох.)
Если прямая задана своими общими уравнениями
A1x+B1y+C1z+D1=0 (1)
A2x+B2y+C2z+D2=0,
то направляющий вектор прямой q ортогонален каждому из нормальных векторов n1={A1;B1;C1}, n2={A2;B2;C2}. Так что можно положить вектор q={l,m,n} равный векторному произведению векторов n1 и n2:
q=n1×n2={; - ;}={B1C2-B2C1;A2C1-A1C2;A1B2-A2B1}
Чтобы из общих уравнений (1) получить канонические уравнения (2), необходимо кроме направляющего вектора q найти хотя бы одну точку М0(х0;у0;z0), через которую проходит прямая.
Пример.
Параметрические уравнения прямой.
Обозначим переменные для разного положения точки М, но равные друг другу отношения в уравнении (2) через t:
Преобразовав получаем параметрическое уравнение прямой:
tR(3)
Если принять параметр t за время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то параметрические уравнения (3) определяют закон движения материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью v=(такое движение происходит по инерции).
Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.
Даны две точки на прямой М1(х1;у1;z1) и М2(х2;у2;z2). Т.к. точка М1L, то ее координаты удовлетворяют каноническому уравнению этой прямой, т.е.
В качестве направляющего можно выбрать вектор
М1М2=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k
Тогда получаем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
(4)
Пример. Перевод из одного вида уравнения в другой.
Прямая проходит через точки А(2;-1;0) и В(0;2;1)
- каноническое уравнение.
- параметрическое уравнение.
- общие уравнения.
Взаимное расположение прямых в пространстве.
Для двух прямых в пространстве возможны 4 случая:
прямые совпадают;
прямые параллельны (но не совпадают);
прямые пересекаются;
прямые скрещиваются (т.е. не имеют общих точек и непараллельны).
Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Пусть прямые L1 и L2 заданы своими каноническими уравнениями
L1: и L2:
с направляющими векторами: q1=(l1;m1;n1) и q2=(l2;m2;n2).
Угол между прямыми L1 и L2 может быть определен как угол между векторами s1 и s2, т.е. (L1^L2)=(q1^q2). Тогда
сosφ=, т.е. сosφ=(4)
Условие параллельности прямых в пространстве.
L1||L2 q1||q2 (5)
Условие перпендикулярности прямых в пространстве.
L1L2 q1q2 q1·q2=0 l1l2+m1m2+n1n2=0 (6)
Выберем на прямых L1 и L2 точки М1(х1;у1;z1) и М2(х2;у2;z2) соответственно. Тогда канонические уравнения будут иметь вид:
L1: и L2:
Если прямые L1 и L2 совпадают, то их направляющим векторам коллинеарен и вектор М1М2, т.е. (7)
Это двойное равенство означает, что точка М2L1. Следовательно, условием совпадения прямых является выполнения одновременно равенств (5) и (7).
Если прямые L1 и L2 пересекаются или скрещиваются, то их направляющие векторы неколлениарны, т.е. условие (5) нарушается.