- •Понятие базиса.
- •Проекция вектора на ось.
- •Свойства проекции вектора на ось.
- •Направляющие косинусы.
- •Скалярное произведение векторов.
- •Геометрические свойства скалярного произведения.
- •Алгебраические свойства скалярного произведения.
- •Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
- •Векторное произведение векторов. Правые и левые тройки векторов и системы координат.
- •Геометрические свойства векторного произведения.
- •Геометрическое построение векторного произведения.
- •Выражение векторного произведения через координаты векторов.
- •Смешанное произведение векторов.
- •Геометрический смысл смешанного произведения.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
- •Приложение смешанного произведения.
Смешанное произведение векторов.
Смешанным произведением трех векторов a, b и c называется число, равное скалярному произведению вектора a×b на вектор с. abc=(a×b)c
Геометрический смысл смешанного произведения.
Теорема. Смешанное произведение abc равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b и c, взятому со знаком плюс, если тройка abc правая, и со знаком минус, если тройка abc левая. Если же векторы a, b и c компланарны, то abc=0. V=±abc
Доказательство.
Исключим тривиальный случай, когда векторы a и b коллинеарны. В этом случае векторы a, b и c – компланарны и их смешанное произведение равно нулю, т.к. векторное произведение a×b двух коллинеарных векторов равно нулю.
Пусть векторы a и b не коллинеарны. Обозначим через S - площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, а через е – орт векторного произведения a×b.
Учитывая формулы: a×b=Sе и , получим:
аbc=(Sе)с=S(ес)=Sепрес=Sпрес (12)
Предположим, что векторы a, b и c не компланарны. Тогда прес с точностью до знака равна высоте h параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c, в основании которого лежит параллелограмм, построенный на векторах a и b.
(a×b)c=|a×b|·|c|cos φ=S·|c|cos φ=S·прdc
Согласно геометрическому свойству векторного произведения |a×b|=S, где S –площадь основания, получаем:
S·|c|cos φ
Т.о. правая часть (12) с точностью до знака равна объему V построенному на векторах a, b и c параллелепипеда.
Очевидно, что прес=+h, если векторы е и с лежат по одну сторону от плоскости, определяемой векторами a и b, и прес= -h, если векторы е и с лежат по разные стороны от указанной плоскости.
Но это означает, что прес=+h, если тройки аbc и аbе одной ориентации, и прес=-h, если эти тройки противоположной ориентации.
Т.к. по определению векторного произведения тройка аbе является правой, то
прес=
Если векторы a, b и c компланарны, то вектор с лежит в плоскости, определяемой векторами a и b, откуда следует, что прес=0 и, следовательно из (12), что abc=0. ч.т.д.
Следствие 1.
Объем соответствующего тетраэдра(правильной пирамиды) равен:
V=±1/6 abc=1/6|abc|
Свойства смешанного произведения.
Смешанное произведение не меняется при циклических перестановках векторов:
(a×b)c=(b×c)a=(c×a)b.
Смешанное произведение меняет знак на противоположный при перемене мест любых двух сомножителей:
(a×b)c=-(ac)b=-(ba)c=-(cb)a
Доказательство. Все произведения по абсолютной величине дают объем одного и того же параллелепипеда, а знак произведений определяется ориентацией тройки сомножителей. При циклической перестановке векторов в тройке ориентация не меняется, при перестановке местами двух векторов в тройке ориентация меняется на противоположную ч.т.д.
Доказанное свойство позволяет записывать смешанное произведение в виде abc.
3) Три вектора a, b и c компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.
Необходимость следует из теоремы. Достаточность – тоже из теоремы, т.к. смешанное произведение некомпланарных векторов равно отличному от нуля объему параллелепипеда.
4) Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.
Т.к. такие векторы компланарны.