- •Лекция №1. Матрицы. Основные понятия. Понятие матрицы.
- •Алгебра матриц.
- •Свойства произведения матриц.
- •Определители.
- •Определители более высокого порядка.
- •Свойства определителей
- •3. Линейное свойство определителя.
- •5. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя умножить на число λ, то и определитель умножится на это число λ.
- •Определитель суммы и произведения матриц.
- •Алгоритм вычисления обратной матрицы. (Метод присоединенной матрицы).
- •Элементарные преобразования над матрицами.
- •Ранг матрицы. Рассмотрим произвольную, необязательно квадратную, матрицу а размера mxn. Линейная зависимость строк.
- •Вычисление ранга матрицы.
- •Системы линейных алгебраических уравнений (слау).
- •Система m уравнений с n неизвестными.
- •Система n линейных уравнений с n неизвестными.
- •Система m уравнений с n неизвестными.
- •Однородные системы линейных уравнений.
Вычисление ранга матрицы.
Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы.
Определение. Минор М матрицы А называется окаймляющим для минора М, если он получается из последнего добавлением одной новой строки и одного нового столбца матрицы А. Т.о. порядок окаймляющего минора М на единицу больше порядка минора М.
Теорема 7. (доказательство следует из теоремы о базисном миноре). Если для некоторого минора матрицы все окаймляющие миноры равны нулю, то он является базисным.
Найти какой-нибудь минор М1 1-го порядка (т.е. элемент матрицы), отличный от нуля. Если такого минора нет, то матрица А нулевая и r(A)=0.
Вычислять миноры 2-го порядка, содержащие М1 (окаймляющие миноры) до тех пор, пока не найдется минор М2, отличный от нуля. Если такого минора нет, то r(A)=1, если есть, то r(A)≥2.
………………
k) Вычислять (если они существуют) миноры k-го порядка, окаймляющие минор Mk-1≠0. Если таких миноров нет, то r(A)=k-1; если есть хотя бы один такой минор, то Mk≠0 r(A)≥k, и процесс продолжается.
Пример. Найдем r(A). А=. Т.к. есть ненулевые элементы, то r(A)≥1. Найдем ненулевой минор 2-го порядка. Например, М2=.
Значит, r(A)≥2. Вычислим миноры 3-го порядка, окаймляющие этот минор. ,=-30+30=0.
Все миноры 3-го порядка, окаймляющие М2 равны нулю, следовательно, r(A)<3,т.е. r(A)=2. - один из базисных миноров.
Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы:
Матрицу А приводят к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований. Количество ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы есть искомый ранг матрицы. Пример. Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований.
Полученная матрица имеет 2 ненулевые строки, значит ее ранг равен 2. Следовательно, ранг исходной матрицы равен 2. Замечание. Если а11=0, то перестановкой строк или столбцов добиваемся того, чтобы а11≠0.
Системы линейных алгебраических уравнений (слау).
В общем случае система m линейных уравнений с n неизвестными (линейная система) имеет следующий вид:
(1)
Где х1,х2,…,хn-неизвестные, а11,а12,…,аmn – коэффициенты системы, b1,b2,…,bm – свободные члены.
У коэффициентов aij i-номер уравнения, j-номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.
Если все свободные члены b1,b2,…,bm равны 0, то система (1) называется однородной. Если хотя бы один из b1,b2,…,bm отличен от 0, система (1) - неоднородная.
Система (1) называется квадратной, если m=n.
Решением системы (1) называется такая совокупность n чисел с1,с2,…,сn, которая при подстановке в систему вместо неизвестных х1,х2,…,хn обращает все уравнения системы в тождество.
СЛАУ можно записать в виде (i=1,2,…,m) (2)
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
СЛАУ
Пример. несовместная система.
-неопределенная (х1=с, х2=5-3с)
Две системы уравнений называются эквивалентными, или равносильными, если имеют одно и то же множество решений.
Запишем систему уравнений в матричной форме.
А=(3) , Х=(4) , В=(5)
Где А- матрица системы, Х- матрица-столбец переменных, В- матрица-столбец свободных членов.
- матрица-столбец.
Элементы этой матрицы-левые части системы (1). Т.о. систему можно записать в матричном виде: АХ=В (6)
-А* = (А|В) расширенная матрица системы (1)
Решение матричного уравнения (6) заключается в отыскании такого столбца (4), который при заданной матрице (3) и заданном столбце (5) обращает уравнение (6) в тождество.
Систему (1) можно записать и в векторной форме:
х1+х2+…+хn=
Или, обозначая столбцы соответственно a1,…,an,В
a1x1+…+anxn=В (7)
Т.о., решение СЛАУ можно трактовать как представление столбца В в виде линейной комбинации столбцов a1,…,an.
Т.о., в отношении системы (1) мы должны научиться устанавливать следующие факты:
1) является ли система (1) совместной;
2) является ли система (1) (в случае ее совместности) определенной или нет;
3) способ отыскания единственного решения совместной системы (1) (в случае ее определенности) и отыскания всех ее решений (в случае ее неопределенности).
Теорема Крόнекера-Капелли (Леопольд Кронекер (1823-1891) – немецкий математик, Альфред Капелли (1855-1910) – итальянский математик). Для того, чтобы система линейных уравнений (1) являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был равен рангу расширенной матрицы этой системы.
Доказательство. Необходимость. Пусть r=rgA rr(AВ). Поэтому достаточно показать, что ранг матрицы А не меньше ранга ее расширенной матрицы, т.е. rr(AВ). Пусть система (1) совместна.
Это означает, что столбец В=в расширенной матрице системе является линейной комбинацией остальных столбцов. Выберем какой-либо базисный минор матрицы А. Без ограничения общности, пусть он будет расположен в верхнем левом углу, т.е. Мr=.
По теореме о базисном миноре, базисные столбцы линейно независимы, в то время как j>k существуют такие числа ijR, i=1,2,…,k aj=1ja1+2ja2+…+rjar,
Где aj – j-й столбец матрицы А.
Тогда столбец b=a1x1+…+arxr+ar+1xr+1+…+anxn=
=a1x1+…+arxr+(1,r+1a1+2,r+1a2+…+r,r+1ar)xr+1+…+(1na1+2na2+…+r nar)xn
Является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы А. Это значит, что Мr является также базисным минором расширенной матрицы (AВ), т.к.
1) он ненулевой;
2) если взять какой-либо окаймляющий минор М, то либо он будет минором матрицы А, т.е. ненулевым, либо он будет содержать столбец В и, следовательно, не может быть ненулевым, т.к. его столбцы линейно зависимы. Поэтому rg (AВ)=rg A.
Достаточность. Пусть rg (AВ)=rg A. выберем в А базисный минор М. Тогда он будет базисным и в матрице (AВ). Значит, столбец В можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов a1,…,ar:
В=a1x1+…+arxr.
Полагая xr+1=xr+2=…=xn=0, получаем решение x1,…,xn исходной СЛАУ, т.к.
В=a1x1+…+arxr=a1x1+…+arxr+0ar+1+…+0an.
Это означает, что СЛАУ совместна. Ч.т.д.