- •Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.
- •Свойства непрерывных функций. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •Точки разрыва и их классификация.
- •Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке.
- •Равномерная непрерывность функций.
- •Непрерывность и разрывы монотонной функции.
- •Существование и непрерывность обратной функции.
Точки разрыва и их классификация.
Как было сказано выше, функция f(x) непрерывна в точке х0, если
Если в точке х0 это двойное равенство не выполняется, то точка х0 называется точка разрыва функции.
Точками разрыва будем называть также точки, в которых f(x) не определена, но в любой -окрестности которых имеются точки области определения функции f(x).
Классификация точек разрыва.
Пусть =f(x0+0)=А+ и =f(x0-0)=А – правый и левый односторонний пределы.
А+=А-≠f(x0) - х0 –точка устранимого разрыва .
(можно доопределить функцию в точке х0: f(x0)=f(x0+0)=f(x0-0))/
Существуют конечные пределы =f(x0+0)=А+ и =f(x0-0)=А – , но А+≠А- f(x0) - х0 – точка разрыва 1-го рода.
А+-А- - скачок функции в точке х0. Пример. f(x)=
Эта функция определена всюду, кроме точки х0=0, но в любой -окрестности этой точки имеются точки области определения этой функции. Следовательно, х0=0 – точка разрыва функции f(x)=.
=,=
Т.о. существуют конечные односторонние пределы, но они не равны. Значит, х0=0 – точка разрыва 1-го рода.
Величина скачка функции в этой точке: f(+0)-f(-0)==.
3) Если в точке х0 не существует хотя бы один из односторонних пределов или в точке х0 хотя бы один из односторонних пределов бесконечен, то х0 – точка разрыва 2-го рода.
Например, функция - определена всюду, кроме точки х0=2, но в любой -окрестности этой точки имеются точки области определения этой функции. Следовательно, х0=2 – точка разрыва функции f(x). Т.к. функция не имеет предела при х→2, то это точка разрыва 2-го рода.
2) Функция у=- в точке х=3 имеет точку разрыва 2-го рода, т.к. односторонние пределы бесконечны.
=,=
Пример. Исследовать на непрерывность функцию
f(x)=
Функции у=х3+1, у=2 и у=3х непрерывны на всей числовой прямой, поэтому данная функция может иметь разрыв только в точках, где меняется ее аналитическое выражение, т.е. в точках х1=1 и х2=2.
Исследуем функцию на непрерывность в этих точках, для чего соответствующие найдем односторонние пределы и значения функции.
1) В точке х1=1.
значение f(1) - неопределенно
Т.о. , т.е. точка х1=1 – точка устранимого разрыва функции.
2) В точке х2=2
f(2)=2
Т.о. f(2)=2, т.е. точка х2 – точка разрыва 2-го рода.
Скачок функции в точке х2: 6-2=4.
График.
f(x)=
В точке х1=-Π разрыв 1-го рода и непрерывна слева. Скачок функции в точке х1 равен -Π.
В точке х2=Π/2 – точка устранимого разрыва (f(Π/2) – неопределенно).
Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке.
Первая теорема Больцано-Коши. (Теорема об обращении функции в ноль)
Теорема 1. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков (т.е. f(a)∙f(b)<0), то внутри отрезка найдется такая точка с(a,b) такая, что f(с)=0.(Рисунок)
Замечание. Эта теорема есть достаточное условие для разрешимости уранвений вида f(x)=0. На ней основывается метод интервалов.
Доказательство.
1) Пусть для определенности f(a)>0, f(b)<0. Разделим отрезок [a,b] пополам, получим точку с1=. Тогда возможны 2 варианта: 1)f(c1)=0 – тогда точка с1-искомая
2) f(c1)≠0, т.е. либо f(с1)>0, либо f(с1)<0. Тогда на концах только одного из отрезков [a,с1] и [с1,b] функция принимает значения разных знаков.
Обозначим этот отрезок I1=[a1,b1]. Разделим отрезок I1 пополам точкой с2=. Тогда возможны 2 варианта: 1)f(c2)=0 – тогда точка с1-искомая
2) f(c2)≠0, т.е. либо f(с2)>0, либо f(с2)<0. Тогда на концах только одного из отрезков [a1,с2] и [с2,b1] функция принимает значения разных знаков. И т.д. до бесконечности. Если на некотором шаге мы получим точку ck такую, что f(ck)=0, то теорема доказана.
В противном случае мы получим последовательность вложенных отрезков:
I1I2…Ik…
На k-м шаге получим отрезок Ik=[ak,bk] такой, что f(ak)>0 f(bk)>0
Согласно лемме о вложенных отрезках сIk, k=1,2,…
Покажем, что f(с)=0.
Последовательность левых концов аk→c, k→
Последовательность правых концов bk→c, k→
Т.к. 0с-аkIk=и 0→0,k→ и →0,k→, то, по теореме о пределе промежуточной функции, с-аk→0,k→, т.е. аk→с,k→,
По условию, функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а значит непрерывна и в точке с[a,b]. Следовательно, f(c)==
Но f(ak)>0 и 0, а f(bk)<0 и 0.
Получили, что f(c)0 и f(c)0, следовательно, f(c)=0. ч.т.д.
Замечание. Требование непрерывности функция f(x) во всех точках отрезка [a,b] существенно. Например, рассмотрим функцию f(x)=на отрезке [-1,1]. Хотя на концах этого отрезка функция и принимает значения разных знаков, но в нуль на [-1,1] не обращается, т.к. не является непрерывной в точке х=0.
Вторая теорема Больцано-Коши (о промежуточных значениях непрерывной функции).
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и f(a)≠f(b), тогда для любого числа С, заключенного между числами f(a) и f(b) найдется такая точка ξ(a,b) такая, что f(ξ)=С. (Рисунок)
Доказательство. Пусть, для определенности, f(a)<f(b), тогда f(a)<c<f(b).
Введем вспомогательную функцию φ(х)=f(x)-c
Тогда φ(а)=f(a)-c<0, φ(b)=f(b)-c>0.
Следовательно, по теореме 1, между точками a и b обязательно найдется хотя бы одна точка ξ такая, что φ(ξ)=f(ξ)-c=0, т.е. f(ξ)=c. Ч.т.д.
Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности функции). Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], тогда она ограничена на этом отрезке, т.е. существуют числа m и М такие, что mf(x)М х[a,b].
Доказательство.
Допустим противное, что функция f(x) не является ограниченной на отрезке [a,b].
Тогда найдется хотя бы одно х1[a,b] такое, что f(x1)>1.
Аналогично, можно указать х2[a,b] такое, что f(x2)>2.
И т.д. продолжая этот процесс, получим последовательность х1,х2,…,xn,…
Такой, что nN: xn[a,b] и f(xn)>n, т.е. f(xn)→, n→ (1)
С другой стороны, полученная последовательность ограничена, т.к. nN axnb
А из ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Пусть это будет подпоследовательность и пусть.
Тогда kN ab.
Переходя в этом неравенстве к пределу при k→, получаем ax0b, т.е. х0[a,b].
По условию функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Значит f(x) непрерывна и в точке х0. Т.к. , то f()→f(х0), k→f()→f(х0), k→ (2)
С другой стороны, последовательность является подпоследовательностью для последовательности. Учитывая (1) получаем, что должно быть
f()→,k→ (3)
Сопоставляя (2) и (3) получаем противоречие. Следовательно ч.т.д.
Замечание. Требование непрерывности функции f(x) на отрезке [a,b] существенно. Если функция f(x) непрерывна на интервале (a,b) или полуинтервале [a,b) ((a,b]), то нельзя гарантировать ограниченность f(x) на этих промежутках. Например, рассмотрим функцию f(x)=на промежутке (0,1]. В каждой конкретной точке этого промежутка она принимает конечное значение, но f(x)=не ограничена, т.к. при приближении х к 0 может принимать сколь угодно большое значение.
Вторая теорема Вейерштрасса (о минимальном и максимальном значении. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], тогда она существуют такие точки из отрезка [a,b], в которых функция принимает наименьшее значение m и наибольшее значение М. (Рисунок)
Доказательство. По теореме об ограниченности непрерывной функции, множество значений, которые принимает функция f(x) на отрезке [a,b] ограниченно. Следовательно, существуют его точная верхняя и точная нижняя границы.
Пусть М=,m=(M и m – конечные числа).
Покажем, что f(x) достигает в промежутке [a,b] наибольшее значение. Для этого надо доказать, что в промежутке [a,b] имеется хотя бы одна точка х0 такая, что f(x0)=М.
Допустим, что такой точки в промежутке [a,b] нет. Тогда справедливо неравенство: М-f(x)>0 (т.к. М=).
Введем вспомогательную функцию .
Функция φ(х) определена и непрерывна на отрезке [a,b] как отношение двух непрерывных функций с необращающимся в 0 знаменателем. Более того, φ(х)>0 на [a,b].
Следовательно, к φ(х) можно применить первую теорему Вейерштрасса, т.е. K>0: будет:
φ(х)К или КМ-f(x)f(x)M-,(*)
Т.к. неравенство (*) выполняется , то число М-является верхней границей множества {f(x)}, x[a,b]. А это невозможно, т.к. М=и, следовательно, любой число, меньшее, чем М не является верхней границей множества {f(x)}, x[a,b].
Получили противоречие. Следовательно, на промежутке [a,b] обязательно имеется хотя бы одна точка х0, в которой функция f(x) принимает свое наибольшее значение.
Аналогично доказывается, что функция f(x) принимает в промежутке [a,b] свое наименьшее значение. Ч.т.д.
Три важных предела.
1. Покажем, что =1.
=. Т.к. логарифмическая функция непрерывна, то
=
2. Покажем, что =.
Положим ах-1=уах=1+ух=ln(1+y)х=, При х→0, у→0.
Имеем ===Перейдем в этом равенстве к пределу:
=По доказанному ранее,.
Следовательно, =
3. Покажем, что =.
Положим (1+х)-1=у(1+х)=1+у=ln(1+y), При х→0, у→0.
Имеем ===Перейдем в этом равенстве к пределу:
=По доказанному ранее,и=1, следовательно,=.