11.4. Момент импульса и силы относительно оси.
Уравнение моментов (11.5) - векторное уравнение, поэтому в декартовых координатах его можно записать можно записать в виде трех скалярных уравнений:
. (11.13)
Пусть в интересующей нас системе отсчета ось неподвижна, и точка , относительно которой рассматриваются моменты, находится на этой оси.
Моментом импульса относительно оси называют проекцию на эту ось вектора , определенного относительно произвольной точки на данной оси (см. рисунок). Аналогично определяется и момент силы относительно любой выбранной оси.
Обозначим их и , тогда, спроектировав (11.5) на ось , получаем
, (11.14)
т.е. производная по времени от момента импульса частицы относительно оси равна моменту силы относительно той же оси.
Если
, то ,
т.е. если момент силы относительно некоторой неподвижной оси равен нулю, то момент импульса частицы относительно этой оси остается постоянным, хотя сам вектор момента импульса может меняться.
Найдем аналитические выражения для и , т.е. будем искать проекции на ось векторных произведений и . Эту задачу удобнее решать в цилиндрической системе координат. Поэтому
выразим векторы и через координаты цилиндрической
системы, связав с частицей орты , направленные в сторону
возрастания соответствующих координат:
, (11.15)
, (11.16)
где плечо (перпендикуляр, опущенный из точки на ось , см.
рисунок).
Векторное произведение можно представить с помощью
определителя
Взяв проекцию вектора на соответствующую ось, получаем момент импульса частицы относительно оси :
(11.17).
Если учесть, что
,
т.к. скорость выражается через угловую скорость как и, соответственно, , можно привести выражение для момента импульса частицы относительно оси к виду, более удобному для практических применений:
. (11.18).
Заметим, что проекция на ось вектора угловой скорости , с которой поворачивается радиус-вектор частицы.
Аналогично записывается выражение для момента силы относительно оси :
. (11.13)
Анализируя полученные выражения, можно сделать очевидный, но важный вывод: проекции и не зависят от выбора точки на оси , относительно которой определены векторы и . Кроме того, и - алгебраические величины, знаки которых соответствуют знакам проекций и .
1.12. Движение частицы в центральном поле.
12.1. Сохранение момента импульса в центральном поле.
Выше мы ввели в рассмотрение центральные силы. Напомним, что сила называется центральной, если для всех точек поля она направлена к одной и той же точке (или от одной и той же точки) и зависит только от расстояния до этой точки, называемой центром сил, или силовым центром.
. (12.1)
Уже из определения следует, что центральные силы консервативны.
В поле консервативных сил можно ввести потенциальную энергию:
(12.2)
При движении в центральном поле момент силы равен нулю, т.к. угол между векторами в векторном произведении равен нулю:
. (12.3)
Тогда из уравнения моментов (11.5) получаем, что момент импульса есть постоянная величина.
При движении частицы в центральном поле полный момент импульса сохраняется, несмотря на то, что система (одна частица) не является замкнутой.
. (12.4)
Поскольку , т.е. величина и направление вектора
сохраняются, а вектор момента импульса всегда
перпендикулярен к векторам и , то движение частицы
происходит в плоскости, перпендикулярной к . Отсюда следует,
что частица в поле центральных сил движется по плоской орбите.
Если ось направлена по вектору , то , а траектория частицы лежит в плоскости, перпендикулярной оси . Выше мы получили, что , где проекция радиус-вектора на плоскость, в которой лежит траектория частицы. В рассматриваемом случае, начало координат и вектор лежит в плоскости орбиты, поэтому
. (12.5)
Пусть частица движется в поле центральных сил по плоской траектории, представляющей собой замкнутую кривую.
Выбрав за начало отсчета точку , найдем площадь сектора , показанного на рисунке.
.
Здесь - угол между (длина радиус-вектора, проведенного к точке ) и . Будем сжимать отрезок к точке . В пределе – касательная к траектории частицы в точке , т.е..
Тогда можем записать
. (12.6)
Вводя понятие секториальной скорости как площади, описываемой радиусом-вектором в единицу времени, получаем
. (12.7)
Обратим внимание, что вектор секториальной скорости и вектор напрвлены вдоль вектора и перпендикулярны плоскости орбиты.
Если применить выражение (12.7) к описанию движения планет, то мы получим математическое выражение 2-го закона Кеплера, устанавливающего постоянство секториальной скорости планеты при движении в центральном поле:
. (12.8)
Этому закону подчиняется, например, движение планет по эллиптическим орбитам.
Итак, свойства движения частицы в центральном поле:
1) движение плоское, плоскость проходит через точку , определенный относительно которой момент импульса частицы сохраняется.
2) секториальная скорость постоянна (II закон Кеплера).
Примечания:
Площадь элементарного сектора, описываемая радиус-вектором при повороте на за время :
.
Закон сохранения момента импульса частицы, движущейся в центральном поле иногда называют “интегралом площадей”.
12.2. Закон сохранения энергии в центральном поле.
Центральные силы консервативны, следовательно, полная энергия частицы в системе «силовой центр – частица» (замкнутая система) сохраняется.
. (12.9)
Поскольку задача плоская, удобно воспользоваться полярными координатами и представить импульс частицы в виде суммы радиальной и азимутальной составляющих:
.
В полярных координатах выражения для момента импульса и полной энергии частицы приобретают вид:
; (12.10)
. (12.11)
В выражении (12.10) , т.к. , и
, (12.10а)
т.к. траектория частицы плоская и .
Если, воспользовавшись (12.10), исключить из уравнения (12.11) азимутальную составляющую импульса частицы , то полную механическую энергию частицы можно записать как
. (12.12)
Примечание. Величину называют центробежной энергией.
Уравнение (12.12) содержит только одну неизвестную – радиальную компоненту импульса . Поэтому оно может формально рассматриваться как уравнение для энергии одномерного – радиального – движения частицы. В этом случае роль потенциальной энергии играет функция
. (12.13)
Т.о., можно сказать, что задача о движении частицы в центральном поле сводится к нахождению условий финитности (инфинитности) одномерного движения частицы в радиальном направлении в поле, описываемом эффективной потенциальной функцией .