59. Основные свойства сходящихся числовых рядов.

1 свойство.

Отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость ч.р.

РассмотримиПусть

тогда

(29.1)

Если существует конечный предел справа в (29.1), то существует и предел слева, и рядсходится

2 свойство.

Если рядсходится и имеет сумму S, то ряд

с = const, сходится и имеет сумму cS.

Пустьтогда

3 свойство.

Если рядысходятся и имеют суммысоответственно, то рядсходится и имеет сумму

Пусть

тогда

59. Ряды с положительными членами. Признаки сравнения сходимости положительных рядов. Положительные ряды

     Если a_n≥ 0 (n= 1, 2, 3, ... ), то рядa₁+a₂+a₃+ ... называетсяположительным. В том случае, когда при всехnоказываетсяa_n> 0, будем называть рядстрого положительным.

     Положительные ряды обладают многими свойствами, сближающими их с обычными суммами конечного числа слагаемых.

     Легко видеть, что частичная сумма S_n=a₁+a₂+ ... +a_n положительного рядавозрастает(может быть, не строго) с увеличениемn. Так как всякая возрастающая числовая последовательность имеет конечный или бесконечный предел (причем члены последовательности не превосходят этого предела), то для любого положительного ряда существует предел

     Этот предел будет конечным или бесконечным, смотря по тому, ограничено сверху или нет множество частичных сумм {S_n}. Таким образом, имеет место

     Теорема 1. Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда множество его частичных сумм ограничено сверху.

     Разумеется, у ряда не положительного ограниченность множества частичных сумм не обеспечивает сходимости, как это видно из примера ряда 1 + (-1) + 1 + (-1) + ...

     Отметим еще, что частичные суммы сходящегося положительного ряда не превосходят его суммы.

     Доказанная теорема сводит вопрос о сходимости положительного ряда к более простому вопросу об ограниченности множества его частичных сумм.

     Рассмотрим, например, ряд (24)

в котором α> 1. Суммуэтого ряда можно записать так:

 Так как сумма содержит 2^kслагаемых, а самое большое из них есть первое, то эта сумма не превосходит числа

Поэтому

Стоящая здесь справа сумма есть частичная сумма геометрической прогрессии

(25)

Как было доказано ранее эта прогрессия сходится (т. к. α> 1), и сумма ее равна

(26)

Так как прогрессия (25) также является рядом положительным, то ее частичные суммы не превосходят ее суммы (26). Тем более

  Это неравенство установлено для любого m. Но для всякогоnможно найти такоеm, что 2^m- 1 >n.

Поэтому при всяком nоказываетсяи ряд (24) сходится.

     Следует, однако, заметить, что непосредственное применение теоремы 1 встречается сравнительно редко.

     Обычно применяют основанные на ней, но более удобные признаки сходимости рядов. Простейший из них - это так называемый признак сравнения рядов

Если каждый член положительного ряда не больше, чем имеющий тот же номер член другого ряда, то второй ряд называется мажорантнымпо отношению к первому.

     Иначе говоря, ряд b₁+b₂+b₃+ ... является мажорантным по отношению к рядуa₁+a₂+a₃+ ..., если при всехnбудетa_n≤b_n.

     Легко понять, что частичная сумма данного ряда не больше, чем (имеющая тот же номер) частичная сумма ряда мажорантного. Значит, если ограничены сверху частичные суммы мажорантного ряда, то это и подавно так для исходного ряда. Отсюда вытекает

     Теорема 2.Если для положительного ряда существует сходящийся мажорантный ряд, то и сам этот ряд сходится. Если же данный ряд расходится, то расходится и всякий мажорантный для него ряд.

     Рассмотрим, например, ряд (27)

предполагая α< 1. Ясно, что этот ряд - мажорантный по отношению к гармоническому ряду, и потому ряд (27) расходится.

Первый признак сравнения рядов. Пустьи- два знакоположительных числовых ряда и выполняется неравенстводля всехk = 1, 2, 3, ...Тогда из сходимости рядаследует сходимость, а из расходимости рядаследует расходимость. Первый признак сравнения используется очень часто и представляет собой очень мощный инструмент исследования числовых рядов на сходимость. Основную проблему представляет подбор подходящего ряда для сравнения. Ряд для сравнения обычно (но не всегда) выбирается так, что показатель степени егоk-огочлена равен разности показателей степени числителя и знаменателяk-огочлена исследуемого числового ряда. К примеру, пусть, разность показателей степени числителя и знаменателя равна2 – 3 = -1, поэтому, для сравнения выбираем ряд сk-ымчленом, то есть, гармонический ряд. Рассмотрим несколько примеров.Пример. Установить сходимость или расходимость ряда.Решение.Так как предел общего члена ряда равен нулю, то необходимое условие сходимости ряда выполнено. Несложно заметить, что справедливо неравенстводля всех натуральныхk. Мы знаем, что гармонический рядрасходится, следовательно, по первому признаку сравнения исходный ряд также является расходящимся.Пример.Исследуйте числовой рядна сходимость.Решение.Необходимое условие сходимости числового ряда выполняется, так как. Очевидно выполнение неравенствадля любого натурального значенияk. Рядсходится, так как обобщенно гармонический рядявляется сходящимся дляs > 1. Таким образом, первый признак сравнения рядов позволяет констатировать сходимость исходного числового ряда.Пример.Определите сходимость или расходимость числового ряда.Решение., следовательно, необходимое условие сходимости числового ряда выполнено. Какой ряд выбрать для сравнения? Напрашивается числовой ряд, а чтобы определиться сs, внимательно исследуем числовую последовательность. Члены числовой последовательностивозрастают к бесконечности. Таким образом, начиная с некоторого номераN(а именно, сN = 1619), члены этой последовательности будут больше2. Начиная с этого номераN, справедливо неравенство. Числовой рядсходится в силу первого свойства сходящихся рядов, так как получается из сходящегося рядаотбрасыванием первыхN – 1члена. Таким образом, по первому признаку сравнения сходящимся является ряд, а в силу первого свойства сходящихся числовых рядов сходится будет и ряд.Второй признак сравнения.Пустьи- знакоположительные числовые ряды. Если, то из сходимости рядаследует сходимость. Если, то из расходимости числового рядаследует расходимость.Следствие.Еслии, то из сходимости одного ряда следует сходимость другого, а из расходимости следует расходимость. Исследуем рядна сходимость с помощью второго признака сравнения. В качестве рядавозьмем сходящийся ряд. Найдем предел отношенияk-ыхчленов числовых рядов:Таким образом, по второму признаку сравнения из сходимости числового рядаследует сходимость исходного ряда.

Пример.Исследовать на сходимость числовой ряд.Решение.Проверим необходимое условие сходимости ряда. Условие выполнено. Для применения второго признака сравнения возьмем гармонический ряд. Найдем предел отношенияk-ыхчленов:Следовательно, из расходимости гармонического ряда следует расходимость исходного ряда по второму признаку сравнения. Для информации приведем третий признак сравнения рядов.Третий признак сравнения.Пустьи- знакоположительные числовые ряды. Если с некоторого номераNвыполняется условие, то из сходимости рядаследует сходимость, а из расходимости рядаследует расходимость.