28. Центральная предельная теорема

Центра́льные преде́льные теоре́мы (Ц.П.Т.) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.

Классическая формулировка Ц.П.Т.

Пусть  есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание идисперсию. Обозначим последние  и , соответственно. Пусть также.

Тогда

 по распределению при ,

где  — нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице. Обозначив символом  выборочное среднеепервых  величин, то есть , мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:

 по распределению при .

29. Локальная теорема Муавра-лапласа

Теорема Муавра — Лапласа — одна из предельных теорем теории вероятностей, установлена Лапласом в 1812 году. Если при каждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события Е равна р (0<р<1) и m — число испытаний, в которых Е фактически наступает, то вероятность неравенства близка (при больших n) к значению интеграла Лапласа

Если в схеме Бернулли n стремится к бесконечности, p (0 < p < 1) постоянно, величина  ограничена равномерно по m и n , то

где , c > 0, c — постоянная.

Приближённую формулу

30. Интегральня теорема Муавра-Лапласа

Пусть 0<p<1, тогда для схемы Бернулли при n® Ґ для любых a и bсправедлива формула .

Это означает, что для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено между k₁ и k₂, можно использовать формулу , где — функция Лапласа, , .