ftt14

Глава 2. ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП												10
Приведение матриц			^
	2		D(g) к квазидиагональному виду							3
		D	0( )		^(2)(g)	:::	:::	:::	0
	6	^	(1)	g	0	:::	:::	:::	0	7
D^(g) =			:::		D :::	:::	:::	:::	:::		;	(2.16)
	6								^(N)(g)	7
	6		0		:::	:::	:::	:::		7
	6									7
	4								D	5

где представления D(1); D(2); :::; D(N) неприводимы, называется разложе-

нием на неприводимые представления. Неприводимые представления являются своего рода элементарными (простейшими) носителями симметрийных свойств группы.

Множество неприводимых представлений группы разбивается на подмножества эквивалентных неприводимых представлений, обозначаемых определенным символом (буква с индексом в виде цифры и/или штриха и т.п.). В конечных группах число таких подмножеств ограничено.

Рассмотрим несколько простейших примеров базисных функций, порождающих представления точечной группы.

Пример 1. Функции x(r) = x, y(r) = y, z(r) = z порождают трех-

мерное представление с матрицами ^		^	^	матрица
	D( ) =	R( ), ãäå R( )
ортогонального точечного преобразования, введенная в (1.2).
Доказательство. С одной стороны, согласно (1.2) имеем
( r)i = Xj	Rij( )rj èëè ( 1r)i = Xj		Rij( 1)rj :	(2.17)

С другой стороны, согласно определению оператора преобразования координат у функции имеем

D i(r) = i( 1r) = i(x0; y0; z0) =

= i Rxx( 1)x + Rxy( 1)y + Rxz( 1)z; y0; z0 :

В частности, получаем

D x(r) = D x = X Rxj( 1)rj =

j

= X Rxj1( )rj = X Rjx( )rj ;

jj

÷òî è òð. äîê.

sh(z=a) преобразуются по тем же представлениям, что и функции

Глава 2. ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП

11

Пример 2. Шестерка функций x2; y2; z2; yz; zx; xy преобразуется друг

через друга при преобразованиях любой точечной группы F. В случае кубических групп Td è Oh тройки x2; y2; z2 è yz; zx; xy преобразуются независимо. Более того, можно найти линейные комбинации функций x2; y2; z2, а именно, 1 = x2+y2+z2 и, например, 2 = x2 y2, 3 = y2 z2,

такие что функция D 1 выражается только через 1 (проще говоря, совпадает с 1), а функции 02 = D 2, 03 = D 3 выражаются только через 2; 3 ( 2 Td èëè Oh).

Пример 3. В группах Td è Oh функции x3, y3, z3 èëè sh(x=a); sh(y=a), x; y; z, и поэтому их симметрийные свойства идентичны симметрийным свой-

ствам функций x; y; z. Симметрийные свойства трех функций sin (x=a),

sin (y=a), sin (z=a) в группе Td èëè Oh такие же, однако эти функции

периодичны и существует пространственная группа G, для которой они образуют базис некоторого представления. Поэтому у этой тройки функ-

ций по сравнению с функциями x; y; z имеются дополнительные симмет-

рийные свойства.

Замечание. Представления группы могут порождаться не только функциями, но и другими объектами, например, векторами или тензорами.

Рассмотрим проекции полярного вектора ( Ax; Ay; Az) в неподвижной си- стеме координат x0; y0; z0 è (Ax0; Ay0; Az0) в подвижной системе коорди- íàò xm; ym; zm, полученной в результате ортогонального преобразования g. Эти наборы связаны соотношением

Следовательно,		Ai0 = cos (rmid0; r0i)Ai Dii0(g)Ai :			(2.18)
D	ii0	(g) = cos (rmi0; r0i) = cos (r0i; rmi0) =		R	(g)
				ii0
D(g)		d	d
и матрицы ^		преобразования проекций вектора образуют представ-

ление как пространственной, так и точечной группы, последнее эквивалентно представлению, по которому преобразуются функции x; y; z.

Ясно, что компоненты тензоров также порождают представления группы преобразования симметрии. Так, по определению тензора 2-ого ранга

имеем

i0j0 = ii0	jj0 ij :	(2.19)
R R

Пронумеруем девять различных пар ij определенным образом, например, в следующей последовательности: 1 xx, 2 yy, 3 zz, 4 yz,

Глава 2. ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП

12

5 zx, 6 xy, 7 zy, 8 xz, 9 yx. Девять компонент s (s = 1 9) порождают девятимерное представление D, матрицы которого

D	ss0	( ) =	R	( )	R	jj0	( ) :	(2.20)
			ii0

Из девяти компонент s три (антисимметричные) комбинации yz zy,zx xz, xy yx преобразуются независимо от шестерки xx, yy, zz,

yz + zy, zx + xz, xy + yx.

Инвариант. Величина, которая не меняется при преобразованиях g 2 G, называется инвариантом группы G. Инвариант является базисом тож-

дественного представления. Примеры инвариантов группы T d: (r) = const, x2 + y2 + z2, xyz, cos (x=a) + cos (y=a) + cos (z=a), V (r), jAj2 =

A2x + A2y + A2z, A B = AxBx + AyBy + AzBz. В группе Oh функция xyz не является инвариантом. Инвариант группы является автоматически инвариантом любой подгруппы данной группы.

Замечание о тензорах. Имеется важное различие между тензорамифизическими величинами (например, тензором деформации) и тен-

зорами, связывающими между собой физические величины (например, тензор электропроводности). Если компоненты первых могут принимать произвольные значения, то на компоненты вторых симметрия кристалла

накладывает ограничения: в эквивалентных системах координат ( x; y; z) è (x0; y0; z0), получающихся друг относительно друга преобразованием

симметрии кристалла, связь между физическими величинами должна быть идентична, так что

i0j0 = ij :

(2.21)

Это условие приводит к тому, что, например, в кристаллах класса T d

èëè Oh тензор 2-ого ранга, связывающий две векторных величины, имеет одну линейно независимую компоненту:

ij = ij :

(2.22)

СВОЙСТВА НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ КОНЕЧНЫХ ГРУПП (например, точечных)

1. Число N неэквивалентных неприводимых представлений конечной группы G конечно и равно числу классов сопряженности этой группы Nê.ñ..

= 6, 3; 12, 6; 24, 5 различные наборы

Глава 2. ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП

13

2. Пусть индекс нумерует неэквивалентные неприводимые представления D группы G. Размерность -ого представления обозначим

символом n . Теорема Бернсайда гласит

N	= h ;	(2.23)
n2
X

=1

ãäå h порядок группы.

3.Для любого отношение h=n есть целое число.

4.Для неприводимых представлений D è D выполняется соотно-

шение ортогональности

gX2G Dij(g)Dlk (g) =	h	il jk :	(2.24)
	n

В качестве примера в таблице 1 для пяти точечных групп указаны порядок группы h, число классов сопряженности Nê.ñ. = N и число ln (â скобках) неэквивалентных неприводимых представлений размерности n.

Таблица 1.

	Td	Oh	D3	D3h	C6v
h	24	48	6	12	12
Nê.ñ. = N	5	10	3	6	6
n (ln)	1(2)	1(4)	1(2)	1(4)	1(4)
	2(1)	2(2)	2(1)	2(2)	2(2)
	3(2)	3(4)

Для указанных групп (кроме Oh) свойств 1, 2 достаточно для определения числа n-мерных неэквивалентных неприводимых представлений

l1	+ l2 + l3 + ::: = N ;	(2.25)
l1	+ 4l2 + 9l3 + ::: = h ;

ãäå ln целые неотрицательные числа (l1 1). Ниже приведены для

h; N ln, удовлетворяющие теореме

Бернсайда. Видно, что каждый раз лишь один такой набор удовлетворяет свойству 1.

Глава 2. ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП																			14
		Таблица 2. h = 6; N = 3.
					n	1			2					l1 + l2
					ln	2			1			3 (!)
					ln	6			0			6 6= 3
		Таблица 3. h = 12; N = 6.
		n		1			2			3				l1 + l2 + l3
		ln		3			0			1			4
		ln		4			2			0			6 (!)
		ln		8			1			0			9
		ln	12				0			0			12
		Таблица 4. h = 24; N = 5.
		n						2			3			4		P
					1
		ln			0			2			0			1
																n ln
																3
		ln			4			1			0			1		6
		ln			2			1			2			0		5 (!)
		ln			...			...			0			0		> 5

Äëÿ h = 48; N = 10, кроме варианта, указанного в таблице 1, свойствам 1-3 удовлетворяет комбинация l1 = 7, l2 = 0, l3 = 1, l4 = 2. Интересный вопрос: существует ли группа с h = 48; N = 10, которой отвечает

набор ln = 7; 0; 1; 2 äëÿ n = 1; 2; 3; 4 соответственно?

В таблице 4 указаны обозначения неприводимых представлений груп-

ïû Td и примеры соответствующих базисных функций. Неприводимые

представления точечной группы Oh обозначаются в виде A1 ; A2 ; E ; F1 , F2 ( +" четные, " нечетные представления по отношению к про-

странственной инверсии). Соответствие в обозначениях неприводимых представлений точечных групп Td è Oh äëÿ -точки указано в таблице 5.

Таблица 5. Примеры базисных функций неприводимых представлений группы Td.

Глава 2. ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП								15
Общее			Обозначение		Базисные функции
обозначение			для -точки
	A1		1		1; x2 + y2 + z2; xyz
	(скаляр)				A B
	A2		2		x4(y2 z2) + y4(z2 x2) + z4(x2 y2)
	(псевдоскаляр)				A (B C)
					p
	E		12			3(x2 y2); 2z2 x2 y2
	F1		25		x(y2 z2); y(z2 x2); z(x2 y2)
(псевдовектор)					(Jx; Jy; Jz); B C
	F2		15		(x; y; z); (yz; zx; xy)
	(вектор)				(Ax; Ay; Az)

Таблица 6. Соответствие неприводимых представлений в -точке в
кристаллах с решеткой цинковой обманки и алмаза.
	Td		1		2		12		25		15
	Oh, even		1		2		12		150		250
	Oh, odd		20		10		120		25		15
Замечание. Неприводимые представления группы
												G = G g , ÿâëÿ-

ющейся прямым произведением некоторой группы										G и группы (e; g) ,
таких что g коммутирует со всеми				элементами			g 2 G , можно построить
из неприводимых представлений D					группы G следующим образом
^( )	^		(g) ;	^( )			^		(g) ;		(2.26)
D	(g) = D			D		(gg) = D

ãäå g 2 G.

Следствие 1. Так как в любой группе G есть тождественное непри-

водимое представление, которое мы часто обозначаем в виде A1 è äëÿ которого D(g) = 1, то из соотношения ортогональности следует форму-

ëà

X Dij(g) = h A1 : (2.27)

g2G

Следствие 2. Пусть Fi (r) одна из функций базиса неприводимого представления D группы G. Тогда сумма Pg2G DgFi отлична от нуля

только в том случае, когда представление D тождественное

1
h gX2G DgFi (r) = A1 F A1	(r) :	(2.28)

где функции

drFi (r) замену переменных

Глава 2. ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП				16
Доказательство:
Xg	DgFi (r) = Xg	Xj	Dji(g)Fj (r) =
= X X Dji(g)! Fj (r) = h A1 F A1 (r) ;
j	g

что и требовалось доказать. Оператор PA1 = h 1 Pg Dg является опера- тором проектирования на подмножество инвариантов группы G.

Следствие 3. Пусть Fi (r) одна из функций базиса неприводимого представления D группы G. Тогда интеграл Mi = R drFi (r) может быть

отличен от нуля только в том случае, когда представление D тожде- ственное.

Доказательство. Выполним в интеграле R

ZZ

drFi (r) = drFi (g 1r) :

Следовательно,

1			g	Z	drDgFi (r) = Z	drPA1 Fi	(r) / A1 :
Mi = h
			X

Следствие 4. Пусть функции Fi(r) образуют базис приводимого представления D группы G. Разложим это представление на неприводимые представления и запишем разложение в символическом виде

D = c1D1 + ::: + cN DN ;

(2.29)

ãäå c число неприводимых представлений D , встречающихся в раз- ложении (2.16) (эквивалентные представления не различаются). Из след-

R

ствия 3 получаем, что интегралы Mi = drFi(r) могут быть отличны от нуля только в том случае, когда представление D содержит хотя бы одно

тождественное представление (т.е. c1 6= 0).

Следствие 5. Правила отбора. Рассмотрим матричные элементы

Z

l ^

Vij = dr i (r)Vl'j(r) ; (2.30)

^

i; 'j и операторы Vl образуют базисы некоторых пред- ставлений группы G (D , D' è DV ). Пример: оператор взаимодействия

электрона со светом

^ e

V = cm0 A p ;

Глава 2. ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП

17

где векторный потенциал A = A0e i!t +A0ei!t (волновым вектором света пренебрегается, что отвечает так называемому дипольному приближению). Для междузонных оптических переходов актуальны матричные

элементы	Z
pci;vjl (k) =		dr cikp^l vjk :	(2.31)

Без учета спина и спин-орбитального взаимодействия электронная волновая функция в GaAs на дне зоны проводимости инвариантна относи-

тельно преобразований из группы Td (обозначение функции S(r)), à состояние в вершине валентной зоны GaAs трехкратно вырождено и волновые функции X(r); Y (r); Z(r) этого состояния преобразуются при пре-

образованиях симметрии 2 Td как координаты x; y; z. В обозначениях таблицы 4 это означает, что функция S(r) образует базис представле-

íèÿ 1, а функции Ri(r) базис представления 15. Для междузонных переходов актуальны матричные элементы

Z

p(0)c 1l;v 15j = dr S (r)^plRj(r) : (2.32)

^

Ясно, что подынтегральные функции Filj = i Vl'j также образуют ба- зис некоторого представления D (в общем случае приводимого). Из след-

ствия 4 получаем, что среди матричных элементов имеются отличные от нуля только в том случае, если представление D содержит хотя бы одно

тождественное представление A1. Выяснить этот или подобный вопрос позволяет введение характеров представлений группы.

ХАРАКТЕРЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ И ИХ СВОЙСТВА

Характером представления D группы G для элемента g называется величина

^ X

(g) = TrfD(g)g Dii(g) : (2.33)

i

Операция взятия следа матрицы обладает следующим свойством

^ ^ ^	^ ^ ^	(2.34)
TrfAB:::T g = TrfB:::T Ag ;

т.е. под знаком Tr можно производить циклическую перестановку перемножаемых матриц.

Свойства характеров представления группы.

Глава 2. ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП

18

1. Характер для единичного элемента e равен размерности представления: (e) = n.

2. Характеры для сопряженных элементов совпадают. Действительно, пусть g2 = gg1g 1. Тогда матрицы представления D удовлетворяют

соотношению

^	^ ^ ^	1	(g)
D(g2) = D(g)D(g1)D

è (g2) = (g1).

3. Характеры эквивалентных представлений совпадают. Действительно, для эквивалентных представлений имеем ^0 ^ 1 ^ ^

D (g) = S D(g)S, откуда

0^0

ñучетом тождества (2.34) получаем (g) Tr D (g) = (g).

Âтаблице 6 приведены характеры неприводимых представлений груп- ïû Td. Характер для единичного элемента e равен размерности представ-

ления, характеры представлений A1; A2 èëè F1; F2 для собственных (по-

воротных) элементов совпадают, а для несобственных отличаются знаком.

Таблица 7. Таблица характеров неприводимых представлений группы

Td.

	e	8C3	6S4	3C2	6
A1	1	1	1	1	1
A2	1	1	1	1	1
E	2	1	0	2	0
F1	3	0	1	1	1
F2	3	0	1	1	1

4. Характеры удовлетворяют соотношению ортогональности

h (g) (g) = h :

(2.35)

X

Для доказательства этого соотношения нужно в (2.24) положить i = j, l = k и провести суммирование по i è l. Из (2.35) следует, что набор

характеров полностью характеризует неприводимое представление.

5. Характеры приводимого представления. Для приводимого представления (2.16) имеем, см. также (2.29),

	2	^	0( )		D^(2)(g)	:::	:::	:::	0	3
			(1)	g	0	:::	:::	:::	0
	6	D								7
(g) = Tr			:::		:::	:::	:::	:::	:::		(2.36)
	6								D^(m)(g)	7
	6		0		:::	:::	:::	:::		7
	6									7
	4									5

Глава 2. ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП				19
^(1)	^(2)	^	(m)	(g)g :
= TrfD	(g)g + TrfD	(g)g + ::: + TrfD

Так как у эквивалентных представлений характеры совпадают, то эту формулу можно переписать в виде, см. также (2.29),

N

X

(g) = c1 1(g) + c2 2(g) + ::: + cN N (g) = c (g) :

=1

Отсюда следует, что

h (g)	(g) =	c	h (g)	(g)
X		X X

X

c h = hc ;

и окончательно получаем выражение для чисел c :

c = 1			h ( )	( ) :
			X
h

Здесь h число элементов группы, сопряженных элементу его самого.

Прямое произведение представлений

(2.37)

, включая

Пусть функции fi(r) (i = 1; :::; n1) è gl(r) (l = 1; :::; n2) преобразуются соответственно по представлениям D(1) è D(2) группы G с матрицами Di(1)0i (g) and Dl(2)0l (g). Ясно, что произведения функций Fil = fi(r)gl(r) образуют базис некоторого представления D (размерности n1 n2) ýòîé же группы с матрицами Djm;il. Это представление называется прямым произведением представлений D(1) è D(2). Символически произведение

представлений обозначается косым крестом :

D = D(1) D(2) :

Аналогично определяются прямые произведения трех и более представ- лений, например, D DV D', по которому преобразуются функции

Filj в Следствии 5.

Характеры прямого произведения представлений равны произведению характеров перемножаемых представлений. Доказательство:

DgFil = Dg(figl) = (Dgfi)(Dggl) = X Dji(1)(g)fj X Dml(2)(g)gm

j m