Линейнаалгебра (Методические указани,часть 2

оператор A : X Y .	Напомним, что оператор A : Y X
называется сопряженным по отношению к оператору A ,
если x X и y Y	выполняется равенство
	Ax, y x, A y .
Для всякого оператора		A сопряженный оператор
A существует и единственный. Причем
	n
	A y y, Aek ek ,		(9)
	k 1
где e1, e2 ,..., en - какой-либо		ортонормированный	базис
(ОНБ) X .

Равенство (9) можно применять за определение сопряженного оператора.

		Матрица A					размерности n m с			элементами a
											ij
называется сопряженной по отношению к матрице											A раз-
мерности					m n		с		элементами	aij ,	если
a a		ji	,	i 1, n, j 1, m .
ij

Заметим, что в любых ОНБ унитарных пространств X и Y сопряженному оператору соответствует соряженная матрица, справедливо и обратное.

Если мы рассматриваем евклидовы пространства X и Y , то таким же образом устанавливается соответствие между сопряженными операторами и транспонированными матрицами.

Задача 4.1. Найти сопряженный оператор для оператора A : 3 3

x1			x1	ix2
A x			2x 1 i x		.
2			1	3
x3				x2

В3 введено естественное скалярное произведение

x, y xi y j .

i 13

41

Решение. В заданном унитарном пространстве	3

стандартный базис e1, e2 , e3 является ОНБ. Для построения сопряженного оператора воспользуемся равенством (9).

	1			1				y, Ae1 y1
Ae1	A	0			2		,		1			y2	2	y3 0 y1 2 y2 ,
		0			0
	0			i				y, Ae2 y1
Ae2	A 1				0		,			i		y2 0 y3			1	iy1 y3 ,
		0		1
	0			0				, y, Ae3 1 i y2 ,
Ae3	A	0		1 i
					0
	1

3

A y y, Aek ek

k1

y1 2 y2 e1 iy1 y3 e2 1 i y2 e3 .

Итак, искомый сопряженный оператор имеет вид

					y1							y1 2 y2
		A y											iy y						.
								2							1			3
					y3								1 i y2
Задача решена.
Задача 4.2. В пространстве																2[t] введено скалярное
														1
произведение		f		t		, g				t					f		t		g		t dt
														1
					1						0			0
							2			1				0		линейного оператора
и задана матрица AT
							0				0			1

в базисе T {1,t,t2}.

Построить матрицу AT сопряженного оператора в базисе T {1,t,t2}.

42

Решение. Проверим, является ли базис T {1,t,t2} ортонормированным в заданном евклидовом пространстве.

							1															1									2					1
	1, t 1 tdt 0,																							1, t 2 t 2dt									, t, t2			t3dt 0 ,
																															3
								1																		1									1
							1															1						2			t2 , t2				1		2
	1,1 1dt 2 ,															t, t t 2dt													,						t4dt			.
																												3									5
								1																	1										1
	Ортогонализируем систему T .
	f1 1,
	f2 t ,
																									t2 , f1			2
																																	1
	f		t2					f		,																	3							,
		3
									1																f1, f1			2			3
	f		t2					f								1				t2 .
		3
									1							3
	Осталось нормировать полученную систему
	f							f1								1						,
	1						f1, f1									2
								f2
	f	2														3						t ,
							f2 ,		f2							2
								f3
	f3															5								1 3t2 .
								f3 ,	f3							8
								Мы	построили ОНБ																			F { f1, f2 , f3}.								Теперь мы

должны, используя матрицу перехода от одного базиса к другому, перейти к матрице оператора в ОНБ. Зная, как связаны матрицы сопряженных операторов в ОНБ, можно

построить матрицу сопряженного оператора в базисе F ,

а затем вернуться опять к исходному базису.

Матрица перехода от базиса T к базису F имеет вид

43

		1							5
					0
									8
		2
				3
P PT F	0								0				,
				2
											5
		0		0			3
									8

						2
		2		0
							3
P 1 PT 1 F PF T				2
		0				0									.
				3
						8
		0		0
						3 5

			1		0	0
			2				5
A P 1 A P					1					.
F	T		3				3
			0		0	1

Мы знаем, как связаны матрицы сопряженных операторов в ОНБ

AF AF T ,

поэтому

		1			2				0
					3
A		0		1						0 .
F
		0			5					1
					3

44

Используя матрицу перехода PT F , возвращаемся к исходному базису T

					1	3				0
						4
AT
		PAF	P 1		0	1				0	.
								5
				0						1
						2

Задача решена.

5. ПРИВЕДЕНИЕ ДВУХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Рассмотрим две вещественные квадратичные формы f x1, x2 ,..., xn и g x1, x2 ,..., xn . Можно ли заданные формы единым преобразованием привести к каноническому виду? Эту задачу помогают решить результаты, относящиеся к линейным операторам. Мы рассмотрим случай, когда одна из этих квадратичных форм, например f , является положительно определенной. Тогда выполняем сначала преобразование X QY , которое приводит форму f к нормальному виду (сумме квадратов переменных). При этом форма g перейдет в новую форму от переменных y1, y2 ,..., yn . На

следующем шаге выполняется ортогональное преобразование Y PZ , которое приводит форму g к каноническому

виду. Квадратичная форма f при этом не изменится, так

как ее матрица является единичной, а PT EP P 1EP E . Итак, результирующим преобразованием, которое приведет обе квадратичные формы к каноническому виду, причем положительно определенную представит в виде суммы квадратов, будет X QPZ .

Задача 5.1. Для заданной пары квадратичных форм найти невырожденное линейное преобразование, которое приводит эти формы к каноническому виду.

45

f x1, x2 , x3 2x12 2x22 x32 2x1x2 2x2 x3 ,

	g x , x , x 2x 2					1				4
							x2					2x2		2x x 2 2x x .
	1	2	3	1		2		2		3	3			1	2	2			3
	Решение.
	Перепишем			формы					f		и g			в виде		f X T AX и

	2		1	0				2	1
g X T BX , где	A	1	2	1		,	B	1	1
									2
		0	1	1
								0	2

рицы соответствующих квадратичных форм.

	0
							- мат-
			2
	4
			2
	3

Так как 2 0,		2	1		3 0,					2	1	0	1 0 , то соглас-
							A			1	2	1
		1	2							0	1	1
но критерию Сильвестра, форма											f является положительно

определенной. Поэтому по ней можно восстановить соответствующую билинейную форму и ввести в 3 скалярное произведение

a,b 2a1b1 2a2b2 a3b3 a1b2 a2b1 a2b3 a3b2 .

Оно удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения (положительная определенность формы необходима

для выполнения аксиомы 4 , а именно a

3 a, a 0;

a, a 0 a 0 ).

Рассмотрим

стандартный

базис

в

3 :

e1 1, 0, 0 , e2 0,1, 0 , e3 0, 0,1 .

Используя введенное скалярное произведение, ортогонализируем его:

46

e e			1, 0, 0 ,
1	1
e	e			e1 , e2	e e				1	e			1	,1, 0		,
2	2			e1 , e1		1	2			1
									2			2

e e		e2 , e3	e	e1 , e3	e e	2	e 0e		1			,	2	,1 .
3	3	e2 , e2	2	e1 , e1	1 3		2	1
						3			3				3

Нормируем вектора	e , e , e			и получаем ОНБ в 3 , в ко-
	1	2	3

тором билинейная форма (следовательно, и квадратичная форма f ) будет иметь единичную матрицу.

e		1				e				1								, 0, 0			,
1			e			1
										2
		1
																						1		,
e		1				e						2		e													2		, 0			,
2			e			2				3							2				6				3
			2
e		1													e					1			,		2			,				.
							e						3																		3
3						3											3
			e																		3				3
			3

Матрица перехода от старого базиса к новому задает мат-

рицу	Q			невырожденного														преобразования переменных
X QY квадратичных форм																		f и g .
	1					1						1
	2					6						3
						2						2
Q	0																.
						6							3
	0					0						3

f X T AX Y T QT AQY Y T A1Y y12 y22 y32 .

Действительно,

47

													1																				0										0
																			2
																																																				2									1								0
A QT AQ																	1																2										0								1										2 1													Q
1																					6													6
																																																				0									1								1
													1																					2
																																											3
																			3															3
			1																											1													1								1
	2												0
			2																														2										6															3
																																																																				1								0 0
			3											2																													2															2
	0																													0																																									0					1 0							.
			6										6
																																											6															3													0					0				1
													1
																														0													0															3
	0		0
													3
g X T BX Y T QT BQY Y T B Y y																																																										2		4 y y													2	.
																																											1								1																	1
Аналогично,
													1																				0										0
																																																				2													1												0
																			2
																1																	2																																1
B QT BQ																																																			1																															Q
																																											0																																				2
1																					6													6																															2
																																																																												4
													1																					2
																																																				0																2												2
																																														3
																																																																												3
																			3															3
					1																																		1												1												1
	2																				0
			2
																																							2												6														3										1							0 0
																					2																												2																2
0			0																																				0																																						0					0 2			.
																					3
																																																			6															3											0				2 0
																			2 2															0															0																3
	0		6
																										3

Далее используем метод приведения квадратичной формы к главным осям.

48

Характеристический многочлен
	1		0	0
F		0		2		1 2	2 имеет три
A1
		0	2

корня 1 1, 2 2, 3 2 , которым соответствуют следующие собственные вектора: 1 1,0,0 , 2 0, 1,1 ,3 0,1,1 . Они являются попарно ортогональными, так

как соответствуют разным собственным значениям, и образуют собственный ортогональный базис. Осталось его пронормировать:

1		1			1, 0, 0 , 2		1							1				1
				1						2		0,					,					,
		1
														2				2
								2

3		1					1				1
				3		0,				,				.
		3
							2				2

Теперь составляем ортогональную матрицу, столбцами которой являются векторы 1 , 2 , 3 ,

		1			0				0
					1				1
	P	0											.
					2				2
					1				1
		0
					2				2
														1			0				0
																	1				1
	Тогда матрица T QP													0
																	2				2
														0			1				1
																	2
																							2

49

					1											1											1
																																								1						0								0
					2											6											3
															2												2																			1								1
T QP					0																																			0
																6													3																	2								2
																																														1								1
					0										0												3
																																							0
																																														2								2
	1				1											1													1														1
									1																												1
	2					6												2														6												2
					1																										1
	0										2										2																		2							2
					6
																																	6
	0										3																												3
											6																													6

и будет искомой матрицей невырожденного линейного преобразования переменных

		1										1									1								1								1
x1								z1									1								z2								1							z3	,
		2										6									2								6								2
					1					2								z2					1					2						z3 ,
x2																	2																2
						6																		6
x			3					z				3					z ,
3		6							2			6					3

приводящего формы f и g к каноническому виду

f z12 z22 z32 , g z12 2z22 2z32 .

Задача решена.

50