Свободные колебания в контурах, импульсные характеристики цепи

В некоторых системах за счет запаса энергии или под действием некоего внешнего толчка (импульса тока или напряжения) могут совершаться колебания, продолжающиеся и по окончании всякого внешнего воздействия. Такие колебания называют свободными. В лабораторной работе изучаются свободные колебания, возникающие под воздействием кратковременного импульса напряжения в одиночном последовательном колебательном контуре и в системе связанных контуров. После окончания импульса ток в цепи еще некоторое время продолжает течь, и на элементах цепи фиксируется напряжение. Понятно, что в пассивной цепи из-за диссипации энергии свободные колебания с течением времени должны затухать. Интерес представляет характер этого процесса: по форме он может быть апериодическим (например, плавный рост, а затем монотонное убывание тока в цепи) или циклическим, колебательным (например, ток изменяется по синусоиде, амплитуда которой медленно уменьшается).

Возникновение колебаний возможно в системах, где диссипация энергии (преобразование в тепло, в работу, в излучение электромагнитных полей) происходит заметно медленнее периодического обмена энергией. Явления такого рода характерны, например, для колебательных контуров, в которых энергия электрического поля, накопленная конденсатором, переходит в энергию магнитного поля, пронизывающего витки катушки индуктивности, а затем идет обратный процесс. Подобные системы называют колебательными. Таковыми при малых потерях являются исследуемые в работе цепи:

одиночный LC-контур и система связанных контуров.

Форма свободных колебаний определяется свойствами цепи, а от характера воздействия зависят начальные условия развития колебаний. Известно, что временной отклик цепи на очень короткий импульс — ток в какой-либо ветви или напряжение между какими-либо полюсами — позволяет выявить импульсную характеристику. Эта функция времени имеет большое значение для анализа процессов преобразования сигналов линейными цепями — зная импульсную характеристику, можно воспользоваться интегралом суперпозиции и найти отклик линейной цепи при воздействии на нее любого сигнала. Внешнее воздействие в данной работе подобрано так, чтобы форма свободных колебаний тока в цепи или напряжения на элементах отображала соответствующую импульсную характеристику.

Одиночный колебательный контур

Рассмотрим процессы, протекающие в электрической цепи, состоящей из катушки индуктивности, конденсатора и резистора. Схема исследуемой цепи представлена на рис. 2. Это — последовательное соединение индуктивности L, сопротивления r и емкости C.

Пусть в момент t = 0 действие внешней ЭДС прекращается: е(t) = 0 при t ≥ 0. После этого в цепи происходят свободные колебания. Напряжение на емкости uC подчиняется однородному дифференциальному уравнению:

		d2u		du
	LC	C	+ r	C	+ u	= 0 . (1)
Рис. 2. Последовательный		dt2		dt	C
колебательный контур	Решение уравнения содержит две константы, зависящие от

начальных значений напряжения uC(0) и тока в цепи i(0). Если контур возбуждается достаточно коротким импульсом ЭДС, то есть длительность импульса так мала, что напряжение uC практически не успевает измениться, тогда можно считать uC(0)=0. Ток в цепи сразу по окончании действия импульса имеет некоторое определенное значение i(0). При таких начальных условиях решение для t ≥ 0 имеет вид:

uC = iβ(0)C e−αt sh(βt) . (2)

Исследование свободных колебаний в контурах

стр.3

Рис. 3. Колебательный режим в последовательном контуре

Здесь: α = r(2L), β = α2 − ω20 , ω0 = 1 LC . Параметр α — коэффициент затухания.

Из (2) несложно найти формулу для тока, поскольку его связь с напряжением на емкости очевидна: i = C(duC dt) . Выражение для напряжения на емкости и для тока

демонстрируют, что характер процессов существенным образом зависит от параметров контура. В связи с этим целесообразно рассмотреть три возможных режима.

Колебательный режим
Пусть α<ω0, тогда β становится чисто	мнимой величиной:			β = α2 − ω02	= jω1 . Здесь
ω =	ω2	− α2 . Теперь для (2) имеем:
1	0
		u (t) =	i(0)e−αt	sin(ω t) .	(3)
		C	ω1C	1

Таким образом, временная зависимость для напряжения и (как несложно показать) для тока при используемом условии представляет собой колебание, близкое по форме к синусоидальному. Этим объясняется название режима — колебательный. Амплитуда синусоиды убывает по экспоненте. Примерные графики для i(t) и uC(t) показаны на рис. 3.

Так как колебания — затухающие, то, строго говоря, они не являются периодическими. Вместе с тем нулевые значения, например для uC(t), реализуются

через равные промежутки времени, равные π/ω1. Они находятся из условия sin(ω1t)=0. Величину Т, вводимую как T = 2π/ ω1 = 2π ω20 − α2 , называют периодом свободных

(собственных) колебаний контура. Частоту ω1 называют частотой свободных

(собственных) колебаний. Важно заметить, что период T и частота ω1 — изохронны. Они не зависят от начальных условий и не изменяются в процессе затухания амплитуды колебаний. Это свойство колебаний LC-контура используется при построении времязадающих устройств и генераторов, обладающих свойством постоянства частоты.

Отношение двух значений напряжения для моментов времени tm и tm+1= tm+T является величиной постоянной, равной exp(αT). Эта величина — ее называют декрементом колебания — характеризует быстроту затухания колебаний. Она определяется параметрами контура и не зависит от времени. Для описания свойств контура удобно использовать натуральный логарифм декремента колебания, называемый логарифмическим декрементом колебания Θ. Он равен произведению αT: Θ = αT = 2παω1 .

При использовании контура в качестве колебательной системы стремятся уменьшить потери в нем, чтобы колебания затухали как можно медленнее. В этом случае (при α<<ω0, ω1)

можно считать, что период T 2π/ ω0 = 2π LC . И тогда:

	Θ α	2π	= π	r	=	π	= πd .	(4)
		ω		ω L		Q
		0		0

Таким образом, зная декремент, можно найти добротность контура Q и обратную ей величину — затухание контура d.

В заключение проанализируем рис. 3 с энергетической точки зрения. Пусть в некий момент t ток i(t) достигает максимума, напряжение на емкости при этом равно нулю. В указанный момент времени энергия оказывается сконцентрированной в катушке индуктивности и

может быть вычислена по формуле WL = LiL2 2 . Затем происходит перераспределение энергии и через четверть периода максимальной становится энергия, сосредоточенная в

Исследование свободных колебаний в контурах

стр.4