komplexnum

Пример

9 - 7i

1) Найти отношение 2 - 3i , 2 - 3i ¹ 0 + 0i .

Пусть

9 - 7i = x + yi Þ (2 - 3i)× (x + yi)= 9 - 7i , 2 - 3i

тогда в соответствии с (2) запишем

			(2x + 3y)+ (2y - 3x)i = 9 - 7i ,
что равносильно системе уравнений
								ì2x + 3y = 9,
								í
								î- 3x + 2y = -7.
Решением данной системы уравнений будет																																		x = 3 ,							y =1.
										9 - 7i							= 3 + i .
										2 - 3i
2) Найти число, обратное																	z = 2 + 3i .
В соответствии с (4) имеем
					z−1 =						1 + 0i						=				2		-		3		i .
											2 + 3i								13
																							13
Проверим полученный результат умножением:
æ			2			3				ö			4						6						6					9				4						9
z × z−1 = (2 + 3i)× ç					-				i	÷		=					-						i +					i	-			i2	=				+				=1.
			13			13							13						13						13					13				13				13
è										ø
Упражнения
Вычислить
	2 + i																	4i
19)		,										20)											,
	2 - i																	1 + i

11

Комплексное число

21)	5		,	22)		3 + 2i				,
		- 4 + 3i					i
					2 + i		=	13			+ 4i
23)	Доказать равенство											.
					3 - i			17			- 9i

Найти числа обратные данным:

24)	z = 2 + i ,	25)	z = 2 − i ,
26)	z = i ,	27)	z = 3 − 4i .

7. Комплексно-сопряженные числа

z = a − bi называется сопряженным к комплексному числу z = a + bi . Например, число 3 + 5i сопря-

жено числу	z = 3 − 5i , число 3 − 2i сопряжено числу 3 + 2i , число
− 3i = 0 − 3i	сопряжено числу 3i = 0 + 3i .
Пусть	a - произвольное вещественное число. Тогда

a = a + 0i = a − 0i = a ,

т.е. любое вещественное число равно своему сопряженному.

Верно и обратное утверждение: если комплексное число z = a + bi

равно своему сопряженному комплексному числу z = a − bi , т.е.

a + bi = a − bi ,

то это число вещественное. Это следует из того, что равен- ство двух комплексных чисел z и z означает, что a = a и b = −b = 0 .

Таким образом, из всех комплексных чисел вещественные числа и только они равны своим сопряженным числам.

Очевидно, что сумма и произведение комплексно-сопряжен- ных чисел есть числа вещественные.

z + z = (a + bi)+ (a − bi)= 2a ,	(5)
z × z = (a + bi)× (a - bi)= a2 + b2 .	(6)

12

Нетрудно показать,

что

=

+

и

=

×

.

(7)

z1 + z2

z1

z2

z1 × z2

z1

z2

Свойство (6) позволяет получить практический способ де-

ления комплексных чисел. Пусть

z =

z1

=

a1 + b1i

,

a2 + b2i ¹ 0 + 0i .

z2

a2 + b2i

Умножим числитель и знаменатель данной дроби на комп-

лексно-сопряженное

число

a2 - b2i , тогда

z =

(a1 + b1i)(a2 - b2i)

=

(a1a2 + b1b2 )+ (b1a2 - a1b2 )i

,

(a

2

+ b i)(a

2

- b i)

a2 + b2

2

2

2

2

что немедленно приводит нас к формуле (3)

z =

z1

=

a1a2 + b1b2

+

b1a2 - a1b2

i .

z

2

a2

+ b2

a2

+ b

2

2

2

2

2

Пример

1)

9 - 7i

=

(9 - 7i)(2 + 3i)

=

18 + 27i -14i + 21

=

39 +13i

= 3 + i .

2 - 3i

(2 - 3i)(2 + 3i)

4 + 9

13

Упражнения

Вычислить:

- i

9 - 2i

1

3

28)

;

29)

;

30)

;

3

+ i

2 + 9i

i

2 - 5i 6 - 7i

1 + i

i

31)

-

;

32)

+

;

4 + i

4 - i

3 - 7i

1 - i

33)

a - bi

-

b - ai

i .

b + ai

a + bi

13

8. Степени мнимой единицы

Первой степенью числа i является само это число, тогда: i1 = i ;

i2 = -1;

i3 = i2 × i = -i ; i4 = i3 × i =1; i5 = i4 × i = i ;

i6 = i5 × i = -1

и так далее.

Очевидно, что при любом n N i4n =1; i4n+1 = i ;

i4n+2 = -1;

i4n+3 = −i .

Примеры

1. i125 − i26 = i124+1 − i24+2 = i − i2 = i + 1.

2. i100 + i98 + i63 = i100 + i96+2 + i60+3 =1 −1 − i = −i .

Упражнения

Вычислить:

34.i6 + i16 + i26 + i36 + i46 + i56 .

35.i3 + i13 + i23 + i33 + i43 + i53 .

14

1

36. i3 .

37. При каком действительном числе a число

3i3 − 2ai2 + (1 − a)i + 5

будет: а) действительным; б) чисто мнимым; в) равным нулю.

9. Геометрическое изображение комплексных чисел

Из школьного курса математики известно, что веще- ственные числа можно изображать точками на числовой пря- мой (рис. 1). При этом каждому вещественному числу соот- ветствует единственная точка на числовой прямой.

−2	0		5
		2		2

Рис. 1.

Мы можем утверждать, что множество всех веществен-

ных чисел находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех точек числовой прямой.

Комплексное число

	z = a + bi		y
можно	охарактеризо-			A(3,2)
вать упорядоченной па-			2
рой вещественных чи-			B(0,1)
сел (a,b), где a - первое
число,	b - второе число.
Такую пару чисел мож-		C(− 2,0)	0	3 x
но отождествить с точ-
кой на плоскости, если
на ней задана система			−2			(3,−2)
координат.					A
Например: комп-				Рис. 2.

15

лексное число z = 3+ 2i можно отождествить с точкой A(3,2), которую можно изобразить на плоскости XOY (рис. 2). Комп- лексно-сопряженное число z = 3 − 2i изобразится точкой A(3,−2) , симметричной точке A(3,2) относительно действительной оси. Точки B(0,1) и C(− 2,0) соответствуют комплексным числам

z = 0 + i и z = −2 + 0i .

Мы можем утверждать, что множество всех комплексных чисел находится во взаимно однозначном соответствии с мно- жеством всех точек плоскости.

Упражнение

38. Назвать комплексные числа, сопряженные данным.

Изобразить данные и сопряженные к ним комплексные числа точками на плоскости:

а) 1+ i ;

б) 4 − 7i ; в) 3; г) 3i ; д) −1 − 3i .

10. Тригонометрическая форма комплексных чисел

С любой точкой А плоскости XOY мы можем связать ра- диус-вектор OA = rr и мы можем установить взаимно однознач-

ное соответствие комплексных чисел z = (a,b) с множеством век-

Рис. 3.

16

торов (рис. 3) с координатами (a,b), если все векторы берут

начало в точке	О с координатами (0,0) .
Очевидно,	что
	a = r cos ϕ, b = r sin ϕ
и тогда
z = a + bi = r(cos j + sin j × i)		(5)

есть так называемая тригонометрическая форма комплексно- го числа.

Угол ϕ будем называть аргументом комплексного числа

z , а r = OA - его модулем.

Ясно (рис. 3), что

r =

,

cosj =

a

,

sin j =

b

,

tgj =

b

.

a2 + b2

r

r

a

Примеры

1. Записать в тригонометрической форме комплексные числа:

z =1 + i .

Модуль этого комплексного числа есть r = 12 +12 = 2 ,

тогда sin j =

1

,

cosj =

1

, откуда

j =

p

+ 2kp . Окончательно

2

2

4

запишем

é

æ p

ö

æ p

öù

z =1+ i =

2

êcosç

+ 2kp÷

+ isin

ç

4

+ 2kp÷ú , где

k Z .

ë

è 4

ø

è

øû

Обычно из бесконечного множества значений аргумента комплексного числа выбирают то, которое заключено между

17

0 и 2π . В нашем случае таким значением

p

является 4 . Окончательно (рис. 4) запи-

z =1+ i =

æ

p

+ isin

p ö

шем

2çcos

÷ .

4

è

4 ø

2. z =

- i .

Рис. 4.

3

1

.

r =

= 2 .

cosj =

3

,

sin j = -

3 +1

2

2

С точностью до угла,	кратного 2π , имеем
			æ	11p
следовательно, (рис. 5) z =		3 - i = 2çcos			+ isin
				6
	è

Рис. 5.

3. z = i .

r =1, cosj = 10 = 0 , sin j = 11 =1 , откуда j = p2

и, следовательно, (рис. 6)

z = i = cos p2 + isin p2 .

j = 116 p = 3300 ,

11p ö

6 ÷ø .

Рис. 6.

18

4.

z = 3 .

r =

= 3 ,

cosϕ =

3

=1

,

sin ϕ =

0

= 0 , откуда

ϕ = 00 и, следо-

9 + 0

3

3

вательно, (рис.7)

z = 3 = 3(cos00 + isin 0o ).

5.

z = −3 .

r = 3, cosϕ =

3

= −1,

sin ϕ =

0

= 0 , откуда ϕ = π и, следова-

− 3

3

тельно,

(рис. 8)

z = −3 = 3(cos π + isin π).

Рис. 7. Рис. 8.

Упражнения

Записать данные комплексные числа в тригонометричес- кой форме, определив их модули и аргументы:

39.	z = 2 + 2	3	i .	40.	z =	3	+ i .	41.	z =1 − i .
42.	z = −4 .			43.	z = 3i .			44.	z = −2i .

11.Умножение и деление комплексных чисел, записанных

втригонометрической форме

Умножение и деление комплексных чисел удобнее выпол- нить, если эти числа записаны в тригонометрической форме.

19

Пусть
z1 = r1(cosj1 + isin j1 ),	z2 = r2 (cosj2 + isin j2 ),
тогда

z = z1 × z2 = r1r2 [cos(j1 + j2 )+ isin(j1 + j2 )],

а

z= z1 = r1 [cos(j1 - j2 )+ i sin(j1 - j2 )]. z2 r2

Примеры
1.	z = 2(cos1300 + isin1300 ),								z		2	= 3(cos 2300 + i sin 2300 ).
	1
z = z z				2	= 6(cos 3600 + isin 3600 )= 6 .
	1
2.	z = 5(cos 470 + isin 470 ),						z	2		= 4(cos130								+ i sin130 ).
	1
													æ										ö
																		3
z = z z				2	= 20(cos 600 + isin 600 )= 20ç										1 + i								÷ =10 +10								3i			.
	1												ç		2			2					÷
													è										ø
3.	z = 2(cos1500 + isin1500 ),								z		2	= 3(cos1050 + isin1050 ).
	1
		z1		= 2 (cos 450 + isin 450 )=								æ									ö
										2				2				2						2		(1+ i)
z =												ç				+ i					÷		=								.
		z2			3					3		ç	2					2			÷		3
												è									ø
4.	z = cos 700 + isin 700 , z					2	= cos1000 + i sin1000 .
	1
		z1		= cos(- 300 )+ i sin(-300 )= cos 300 - isin 300 =																												1 i .
z =																													3	-
		z2																										2
																																2

20