komplexnum

Упражнения

Вычислить

45.3(cos 200 + isin 200 )×5(cos 700 + i sin 700 );

46.2(cos 400 + i sin 400 )×7(cos800 + isin 800 );

	cos1300	+ isin1300
47.	cos 400	+ isin 400		;
	2(cos1070		+ i sin1070 )
48.	5(cos 470		+ i sin 470 )		.

Комплексно-сопряженное число

z = a - bi = r(cosj - sin j × i)= r[cos(- j)+ sin(- j)× i]

имеет тот же модуль r и противоположный аргумент - ϕ .

Произведение

z × z = r(cos j + isin j)× r(cos j - isin j)= r2 ,

откуда для модуля комплексного числа можем записать

r = zz .

Если модуль комплексного числа равен единице zz =1, и, таким образом z−1 = z .

При любом натуральном n N

zn = [r(cosj + isin j)]n = rn (cos nj + isin nj),

или

zn = rn (cos nj + isin nj)

(r = 1), то

(6)

это так называемая формула Муавра позволяющая находить натуральные степени комплексных чисел.

21

12. Извлечение корней из комплексных чисел

Предположим, что корень степени n из комплексного числа z = r(cos j + isin j)¹ 0 + 0i существует и равен r(cos q + isin q) .

Тогда

[r(cos q + isin q)]n = r(cos j + i sin j).

Используя формулу Муавра, получим

[r(cos q + isin q)]n = rn (cos nq + isin nq)= r(cos j + isin j).

Модули двух равных комплексных чисел, отличных от нуля, равны, а аргументы могут отличаться на угол крат-

ный

2π . Тогда

rn = r , nθ = ϕ + 2kπ

или

r = n

, q =

j + 2kp

,

r

n

где k - любое целое число. В частности при:

k = 0

q = j

;

n

k =1

q = j

+

2p

;

n

n

k = 2

q = j

+

4p

;

n

n

..............................................;

k = n −1

q = j

+

2(n -1)p

.

n

n

При k = ±n, ± (n +1), ± (n + 2) и т.д. будут получаться значе-

ния

θ , отличающиеся от написанных выше на углы,

кратные

2π

и никаких новых комплексных чисел эти значения

k дать

22

не могут. Таким образом каждое комплексное число, отличное от нуля, имеет ровно n корней n -й степени.

Итак, если только корень n -й степени из комплексного чис-

ла z = r(cos j + isin j) существует,

то он может принимать лишь

следующие n значений:

a

=

n

æ

j

+ isin

j ö

r çcos

n

÷

;

0

è

n ø

a

=

n

æ

j + 2p

+ isin

j + 2p ö

r çcos

n

n

÷

;

1

è

ø

.....................................................;
an−1 =	n		æ	j + 2(n -1)p	+ isin	j + 2(n -1)p ö
		r çcos		n		n	÷ .
		è					ø
Геометрически все n значений корня							n -й степени из комп-
лексного числа z = r(cos j + isin j)						изображаются точками, ле-

жащими на окружности с центром в начале координат, радиус которой равен nr .

Пример

1. Найти все значения корня 4-й степени из i .

i = cos p2 + isin p2 .

Модули всех корней 4-й степени равны 41 =1 . Аргументы будут иметь значения:

p8 ; p8 + 24p ; p8 + 44p ; p8 + 64p

или

18 p ; 58 p ; 98 p ; 138 p,

23

тогда

a0 = cos π8 + isin π8 ; a1 = cos 58π + isin 58π ;

a2	= cos	9π	+ isin		9π				;
		8				8
a3	= cos	13π		+ isin			13π			.
		8
						8

13. Извлечение корня n -й степени из 1

В данном случае

z =1 и тогда 1 = cos00 + isin 00 или

1 = cos 2kπ + i sin 2kπ , где k Z , k = 0,±1,±2,...

Пусть n

= r(cosϕ + isin ϕ) . Тогда по формуле Муавра

1

1 = rn (cos nϕ + isin nϕ),

откуда

1 = rn , 2kπ = nϕ .

Таким образом r =1,

так как модуль комплексного числа -

вещественное положительное число;

ϕ =

2kπ

, т.е.

n

n

2kπ

2kπ

1 = cos

+ isin

k = 0,±1,±2,...

,

n

n

Положим ak = cos

2kπ

+ isin

2kπ

. При k = 0,1,2,...,n −1 имеем

n

n

a0 =1,

24

a1

= cos

2p

+ isin

2p

,

n

n

a2

= cos

4p

+ isin

4p

,

n

n

..................................,

an−1 = cos

2(n -1)p

+ isin

2(n -1)p

.

n

n

При других значениях

k мы новых корней не получим, так

как при k = n

имеем

an = cos

2np

+ isin

2np

= 1 = a0 ,

n

n

æ

2p ö

æ

2p ö

a−1 = cosç

-

÷ + isinç

-

÷ =

è

n ø

è

n ø

= cos

2(n -1)p

+ isin

2(n -1)p

= an−1 ,

n

n

a−2 = an−2

и так далее.

Мы убедились, что

n

имеет ровно n различных корней.

1

Пример

Найти значения n1 при n = 2, 3, 4, 6 .

1.n = 2 . Имеем два корня (рис.9). a0 =1, a1 = cos 22p + isin 22p = -1.

2.n = 3 . Имеем три корня (рис.9).

25

a

=1, a = cos

2π

+ isin

2π

=

−1+ i

3

,

0

1

3

3

2

4π

4π

−1− i

.

a2

= cos

+ isin

=

3

3

3

2

3.

n = 4 . Имеем четыре корня (рис.9).

a0

=1, a1 = cos

2π

+ isin

2π

= i ,

4

4

a2

= cos

4π

+ i sin

4π

= −1, a3

= cos

6π

+ i sin

6π

= −i .

4

4

4

4

4.

n = 6 . Имеем шесть корней (рис.9).

2π

2π

=

1+ i

,

a

=1, a = cos

+ isin

3

0

1

6

6

2

4π

4π

−1+ i

,

a2

= cos

+ isin

=

3

6

6

2

6π

6π

8π

8π

=

−1− i

a3

= cos

+ isin

= −1, a4

= cos

+ isin

3

,

6

6

6

6

2

10π

10π

=

1− i

.

a5

= cos

+ isin

3

6

6

2

Из рис.9. видно,

что значения ak

расположены в вершинах

правильного n -угольника, вписанного в единичную окруж- ность. Одна из вершин этого n -угольника имеет координаты

(1,0).

Пусть a0 , a1 , ..., an−1 - корни n -й степени из единицы. Если мы возведём a1 в различные целые положительные степени k =1,2,...,n , мы получим по одному разу все корни из единицы,

так как a11 = a1 , a12 = a2 , ..., a1n−1 = an−1 , a1n = a0 .

26

Рис. 9.

Аналогичным свойством могут обладать и другие корни из единицы.

Корень n -й степени из единицы, при возведении которого в степени k =1,2,...,n получаются по одному разу все корни n -й степени из единицы, называется первообразным.

Так при n = 4 корни a1 = i и a3 = −i являются первообраз- ными:

a13 = −i = a3 , a32 = −1 = a2 , a33 = i = a1 , a34 =1 = a0 .

Упражнения

Найти все значения данных корней:

49.	3		3	.			50.	3			1+ i		.
51.						.	52.							.
	4										cos1000 + i sin1000
		−1
53.	3				.		54.					.
			8i						4i

27

Литература.

1.Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые её прило- жения. М.: Наука, 1971.

2.Кочетков Е.С., Кочеткова Е.С. Алгебра и элементар- ные функции. М.: Просвещение, 1966.

	Содержание
1.	Понятие числового поля ..........................................................	3
2.	Комплексные числа ..................................................................	4
3.	Сложение комплексных чисел ................................................	6
4.	Вычитание комплексных чисел ..............................................	7
5.	Умножение комплексных чисел .............................................	8
6.	Деление комплексных чисел ...................................................	9
7.	Комплексно-сопряженные числа ..........................................	12
8.	Степени мнимой единицы .....................................................	14
9.	Геометрическое изображение комплексных чисел ...........	15
10.	Тригонометрическая форма комплексных чисел ..............	16
11.	Умножение и деление комплексных чисел, записанных
	в тригонометрической форме ...............................................	19
12.	Извлечение корней из комплексных чисел ........................	22
13.	Извлечение корня n -й степени из 1 ....................................	24

Издательская лицензия ИД №06024 от 09.10.2001 года. Подписано в печать 10.09.2002 г. Формат 60х90/16.

Объем издания в усл.печ.л. 1,75. Тираж 100 экз. Заказ 328.

Псковский государственный педагогический институт им. С.М.Кирова, 180760, г. Псков, пл. Ленина, 2.

Редакционно-издательский отдел ПГПИ им. С.М.Кирова, 180760, г. Псков, ул. Советская, 21, телефон 2-86-18.

Отпечатано в типографии газеты «Товары и цены»

28