Вероятность редких событий. Распределение Пуассона.

Замена биномиального распределения нормальным при большом допустима лишь при условии, что вероятность наступления события А при отдельном испытании не очень мала. Если же А – редкое событие и его вероятность мала, то погрешность, которая получается при такой замене становится значительной и такая замена становится недопустимой. Преобразуем формулу для вероятности появленияуспехов в серии изиспытаний

(15)

в предположении, что велико, амало. Пусть известно математическое ожидание числа наступления успехов прииспытаниях. Обозначим его через:

Тогда (16)

Поскольку велико, то в формуле (16) принято. (17).

Учитывая (17), получим из (6)

(18)

Здесь учтено, что при больших значениях и конечных значенияхвеличинаи что.

Следовательно, при больших значениях и малых

(19)

Такое распределение вероятностей называется распределением Пуассона.

Если вероятность наступления события А при одном испытании мала и если известно математическое ожидание числа наступлений события при большом числе испытаний, то вероятность того, что событие А наступитраз в серии изиспытаний определяется формулой Пуассона (19).

Закону Пуассона подчиняется число появлений некоторого события, зависящего от большого числа независимых испытаний, вероятность наступления которых мала (т.е. редких событий)

Вероятность того, что событие, имеющее малую вероятность наступления , произойдет при испытаниях не более чемраз определяется формулой

(20)

Функция табулирована.

С помощью формулы (20) можно вычислить вероятность того, что событие при испытаниях произойдет не менее чемраз

.

Пример

В цехе имеется 80 станков. Вероятность аварии для каждого отдельного станка за смену равна 0.05. Найти вероятность того, что число аварий за смену будет равно четырем, а также того, что число аварий за смену не превысит восьми.

Так как вероятность мала, то для решения задачи следует применить распределение Пуассона, а не нормальное распределение. Здесь ;.

.

Пример. Завод отправил на базу 5000 изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится , равна 0.0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение. ,,,

.

Закон больших чисел

Известно, что нельзя заранее предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге эксперимента, но при очень большом числе случайных явлений их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Особенности случайного явления не оказывают влияния на средние результаты большого числа испытаний ( эти особенности взаимно погашаются). Частота появления события, среднее арифметическое и статистическая дисперсия обладают удивительной устойчивостью при большом числе испытаний. Поэтому становится возможным предсказание средних результатов случайных явлений почти с полной достоверностью.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая. Эти условия и указываются в теоремах и неравенствах, носящих общее название закона больших чисел.