Темы для размышлений

1.	Докажите, что в арифметических прогрессиях 3, 7, 11, ... и 5, 11, 17, ... бесконечно много простых чисел.
2.	Каково множество тех многочленов, значения которых лежат вдоль диагонали, если спираль (см. рис. 1) • начата с 1? • начата с некоторого числа u? • начата с некоторого числа u, и по спирали стоят члены арифметической прогрессии u, u + v, u + 2v, ...?
3.	Теорема Вильсона утверждает, что если p — простое число, то (p–1)! + 1 делится на p. Как можно использовать этот результат, чтобы уменьшить число неизвестных в экспоненциальном многочлене R, задающем простые числа?
4.	Постройте экспоненциальный многочлен S(x0, ..., xk ), который задаёт множество полусумм простых чисел-близнецов, т.е. такой многочлен, что если S(x0, ..., xk ) > 0, то оба числа S(x0, ..., xk ) – 1 и S(x0, ..., xk ) + 1 являются простыми, и наоборот, если s – 1 и s + 1 — простые числа, то S(x0, ..., xk ) = s при некоторых x0, ..., xk .
5.	Постройте экспоненциальный многочлен T(q, x0, ..., xm ), такой, что • если q — простое число, то существуют числа x0, ..., xm  такие, что T(q, x0, ..., xm ) > 0; • если q — простое число и T(q, x0, ..., xm ) > 0, то T(q, x0, ..., xm ) — простое число, следующее за q; • если q не является простым числом, то всегда T(q, x0, ..., xm ) ≤ 0. Этот экспоненциальный многочлен даёт «формулу для следующего простого числа».

17