x −1 2x

lim 2xln

x−1

lim 2xln(1−

1

)

lim 2x(−

1

)

x

x

x

Пример. lim

= [1∞ ]= ex→∞

= ex→∞

= ex→∞

= e−2

x

x→∞

1.14. Непрерывность функций

Определение 1.

Пусть дана функция y = f (x) . Рассмотрим два значения ее аргумента x и

x0 .

Разность

x − x0 =

x

называется

приращением

аргумента

x

в

точке x0 . Разность

у − у0 = f (x) − f (x0 ) =

y называется приращением функции y = f (x) в точке x0 .

Так как x − x0 =

x , то x = x0 + x и

y = f (x0 +

х) − f (x0 ) .

Определение 2. Функция y = f (x)

называется непрерывной в точке

x0 ,

если она определена в

некоторой

окрестности

точки x0

и

lim

y = 0 , т.е.

если

бесконечно

малому приращению

x соответствует б. м. приращение

y .

x→0

y = lim (f (x) − f (x0 ))= 0

Так как

y = f (x) − f (x0 ) ,

то

можно

переписать

lim

x→0

x→х0

lim f (x) = f (x0 ) .

x→х0

Таким образом, получаем эквивалентное определение:

Определение 3. Функция			y = f (x)	называется непрерывной в точке x0 ,						если она определена в
некоторой окрестности точки x0 и lim				f (x) = f (x0 ) или		lim	f (x) =		lim	f (x) = f (x0 ) .
			x→х0			x→х0 +0			x→х0 −0
Это равенство можно переписать в виде lim					f (x) = f ( lim		x) ,	то есть под знаком непрерывной
функции можно переходить к пределу.				x→х0		x→х0
Приведем две важные теоремы о непрерывных функциях.
Теорема 1. Если функции			f (x) и g(x) непрерывны в точке x0 ,					то непрерывны в этой же точке их
сумма, произведение и частное (при g(x0 ) ≠ 0 ).
Доказательство. Найдем
lim F(x) = lim (f (x) + g( x))= lim f (x) + lim g(x) = f ( x0 ) + g(x0 ) = F(x0 )
x→х0	x→х0			x→х0	x→x0
функция F(x) = f (x) + g(x) ― непрерывная в точке						x0 . Аналогично доказываются теоремы для
произведения и частного.
Теорема 2. Если функция g(x) непрерывна в точке x0 , а функция									f (u) ― в точке u0 = g(x0 ) , то
сложная функция f (g(x))		непрерывна в точке x0 .
Доказательство.	lim	f (g(x)) = lim f (u) = f (u0 ) = f (g(u0 )) .
x→х0			u→u0
Определение 4. Если функция y = f (x) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а; b), то
функция называется непрерывной на этом интервале.
Определение 5. Функция			y = f (x)	называется непрерывной слева (справа) в точке x0 , если она
определена в точке x0	и	lim	f (x) = f (x0 ) (или		lim	f (x) = f (x0 ) ).
	x→х0 −0				x→х0 +0
Определение 6. Функция			y = f (x)	называется непрерывной на замкнутом интервале [a; b], если

она непрерывна в каждой точке интервала (а; b), и непрерывна справа в точке а и слева в точке b . Рассмотрим некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке.

1. Непрерывная на [a; b] функция достигает на этом отрезке по крайней мере один раз наибольшего значения М и наименьшего значения т , т.е. m ≤ f (x) ≤ M (рис. 11).

16

Рис. 11.

2.Непрерывная на [a; b] функция является ограниченной на этом отрезке. Это следует из неравенства

М≤ f (x) ≤ m х [а; b].

Классификация точек разрыва.

Если в точке x0 хотя бы одно из условий непрерывности нарушается, точка называется точкой разрыва данной функции.

1.Пусть существуют односторонние пределы:

		lim f (x) = f (x0 −0) и				lim f (x) = f (x0 + 0) .
		x→x0 −0				x→x0 +0
а) Если f (x0 −0) ≠ f (x0 + 0) , но являются конечными числами.							то точка x0 называется точкой
разрыва первого рода (рис. 12).							f (x) в точке x0 .
Величина δ =		f (x0 + 0) − f (x0 −0)			называется скачком функции

Рис. 12.

б) Если f (x0 −0) = f (x0 + 0) ≠ f (x0 ) , то точка x0 называется точкой разрыва первого рода или

точкой устранимого разрыва (рис. 13).

Для того, чтобы устранить разрыв, нужно доопределить (или переопределить) функцию в самой точке x0 ,

f (x), если х ≠ х				0
т.е. ввести новую функцию у =	А, если
			х = х0 .

Рис. 13.

2. Если в точке x0 хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен ∞, то точка x0 называется точкой разрыва второго рода (рис. 14).

Рис. 14.

Примеры. Исследовать функции на непрерывность:

x −1,		если	0 ≤ х < 3,
1) f (x) =	3 − х,	если	3 ≤ х ≤ 4.

Изобразим график этой функции (рис. 15). В точке х = 3 у функции разрыв, так как

17

lim	f (x) =	lim (x −1) = 2			разрыв I рода, скачок.
x→3−0	f (x) =	x→3−0
lim		lim		(3 − x) = 0
x→3+0		x→3+0

Рис. 15.

Следует

отметить,

что в точке

х = 0

функция непрерывна

справа,

так

как

lim

f (x) =

lim

(x −1) = −1 = f (0) . В

точке х = 4 функция

непрерывна слева,

так

как

x→0+0

x→0+0

lim

f (x) =

lim

(3 − x) = −1 = f (4) .

x→4−0

sin x

x→4−0

2) y =

.

x

sin x

sin x

Точка x = 0 является точкой устранимого разрыва,

так как lim

=

lim

=1 и

f (0) не

x→0+0

x

x→0−0

x

существует. Доопределить

функцию по непрерывности ― это значит задать f (0) =1,

т.е.

получим

sin x ,

x

≠ 0

.

функцию вида y =

x

x = 0

1,

3) y = sin 1x .

Точка x = 0 является точкой разрыва II-го рода, так как lim sin 1 не существует. График функции x→±0 x

колеблется между (−1) и 1, не приближаясь ни к какому значению.

4.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕОРИИ

1.Дайте определение окрестности радиуса h > 0 конечной точки x0 . Как обозначается такая окрестность?

2.Дайте определение h - окрестности точек ± ∞. Как обозначается такая окрестность?

3.Чем отличается h - окрестность и проколотая h - окрестность конечной точки x0 ?

4.Дайте определение предела функции через окрестности.

5.Как записать определение предела функции, не используя понятия окрестности?

6.В чём отличие правостороннего и левостороннего предела функции?

7.Если в некоторой окрестности точки x0 три функции связаны неравенством ϕ(x) ≤ f (x) ≤ g(x) и существуют конечные пределы lim ϕ(x) = lim g(x) = A , то что можно сказать о lim f (x) ?

→x0 x→x0 x→x0

8.Сформулируйте первый замечательный предел.

9.Какая функция называется ограниченной (неограниченной) на некотором множестве?

10.Как называется функция, для которой в точке x0 справедливо соотношение lim f (x) = 0 ?

→x0x

11.	Как называется функция, для которой в точке x0	справедливо соотношение lim f (x) = ∞?
12.	Перечислите свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.				x→x0
13.	Если существуют конечные пределы двух функций		lim f (x) = A	и	lim	g(x) = B , то чему
			x→x0		x→x0
	равны следующие пределы: lim ( f (x) + g(x)) ,	lim ( f (x) g(x)) ,		lim	f (x)	?
					g(x)
	x→x0	x→x0	x→x0
	18