- •§1. Числовые функции
- •1.3. Дробно-линейная функция
- •1.7. Тригонометрические функции
- •1.8. Обратные тригонометрические функции
- •1.10. Преобразования графиков функций
- •§2. Предел числовой функции
- •2.6. Непрерывность функции. Точки разрыва функции
- •§3. Дифференциальное исчисление функций одного переменного
- •§4. Дифференциальное исчисление
- •4.5. Условные экстремумы
§4. Дифференциальное исчисление
ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
4.1. Частные производные
Пусть - функция двух переменных.
Две частные производные первого порядка:
и(илии).
Четыре частных производных второго порядка:
,,и(или,,и).
Если смешанные производные инепрерывны в некоторых точках, то в этих точках выполняется равенство:.
Аналогично определяются производные высших порядков.
Дифференциал первого порядка:
.
Дифференциал второго порядка:
.
4.2. Дифференцирование сложных и неявных функций
(1) Сложная функция , гдет.е..
Тогда .
(2) Сложная функция где,.
Тогда ;
.
(3) Неявная функция определяется уравнениемне разрешенным относительно. Тогда частные производные можно найти по формулам:
4.3. Приближенные вычисления с помощью производных
Пусть необходимо вычислить значение функции в точке, если известно значение функции в точке.
Тогда ,
где дифференциал ,
, .
4.4. Локальные экстремумы
Алгоритм нахождения локальных экстремумовфункции двух переменных:
Находим первые частные производные и.
Решая систему , определяем подозрительные на локальный экстремум точки.
Находим вторые частные производные и составляем выражение.
В каждой подозрительной на локальный экстремум точке вычисляем значения вторых производных и .
Выбираем те точки, для которых >0. Делаем вывод о наличии в этих точках локального экстремума.
Для точек из п.5 определяем вид экстремума: если >0, то в точке локальный минимум, если<0, то – локальный максимум. Вычисляем значение функции в точках локальных экстремумов.
Выбираем из подозрительных на экстремум точек те, для которых <0. Делаем вывод о том, что в этих точках локального экстремума нет.
Если в какой-либо точке равно нулю, то вопрос остается открытым.
4.5. Условные экстремумы
Алгоритм нахождения условных экстремумов функции при условии, заданном в виде.
Составляем функцию Лагранжа .
Находим первые производные функции Лагранжа и.
Решая систему уравнений , находим подозрительные на условный экстремум точкии соответствующие.
Находим вторые частные производные функции Лагранжа: и составляем выражение, в которомdx, dy – произвольные переменные приращения.
Полученные в п.3 точки и подставляем в выражение .
Находим и. Составляем равенство. Подставляем каждую из подозрительных точек (из п.3) и выражаемчерезиличерез.
Подставляем найденное выражение из п.6 в выражение из п.5 и приводим к видуили
Если >0, то в данной точке условный минимум; если<0, то в данной точке условный максимум. Вычисляем значение функциив каждой точке условного экстремума.