Лекция5
.docСферические функции.
Оператор Лапласа в сферических кординатах
- угловая часть оператора Лапласа
Рассмотрим задачу Ш-Л на единичной сфере.
Определение. Дважды непрерывно дифференцируемые ограниченные на единичной сфере решения этой задачи называются сферическими функциями.
Ищем решение в виде , тогда для :
Тогда
Для функции
Это задача для присоединённых функций Лежандра, следовательно
Выпишем систему сферических функций n-го порядка
Квадрат нормы
Шаровые функции
Рассмотрим уравнение Лапласа в шаре
Учитывая , то для радиальной части
Это уравнение Эйлера
Решение которого ищется в виде
Первая и вторая формулы Грина.
Напомним формулу Гаусса-Остроградского.
Введём оператор
Рассмотрим интеграл
Учитывая, что
Формула называется первой формулой Грина
Поменяв местами u и v
Вычитая, получаем
-Вторая формула Грина.
В частном случае, когда
В трёхмерном случае введём сферическую систему координат с центром в токе . Найдём решение уравнения Лапласа зависящее только от расстояния до -
Решение называется фундаментальным решением для уравнения Лапласа.
В двумерном случае
фундаментальное решение удовлетворяют уравнению во всех точках кроме
Третья формула Грина
Пусть
Поскольку в области то переходя к пределу
Или
Действуя по этой схеме, окончательно получим
Замечание
Основные свойства обобщённых функций
-
Если - гармоническая функция в области D, то
Доказательство. Положим во второй формуле Грина.
-
Теорема о среднем
Доказательство. Применяем 3-ю формулу к шару и учитываем первое свойство.
-
Гармоническая в области D функция имеет внутри D производные всех порядков
Это утверждение следует из 3 формулы Грина, так интегралы собственные и их можно дифференцировать, сколько угодно раз.
-
Принцип максимума. Гармоническая в области D функция , непрерывная в замкнутой области , достигает своих максимальных и минимальных значений на границе области D.
Внутренние краевые задачи
Внутренняя задача Дирихле
Определение Классическим решением внутренней задачи Дирихле
называется функция , непрерывная в замкнутой области , удовлетворяющая уравнению в области D и непрерывно примыкающая к заданным граничным значениям
Теорема Задача Дирихле не может иметь более одного классического решения.
Вопрос о существовании будет рассмотрен позже.
Третья краевая задача.
Теорема. Пусть на , причём . Тогда 3-я краевая задача (n- внешняя нормаль к D) не может иметь более одного классического решения.
В силу линейности задачи достаточно показать, что однородная краевая задача.
имеет только нулевое решение.
Используя первую формулу Грина .
т.к. в ,
следовательно, в D, а в тех точках поверхности где , отсюда следует, что .
Внутренняя задача Неймана.
Необходимым и достаточным условием разрешимости задачи Неймана является , где
Внешние краевые задачи
Функции регулярные на бесконечности.
Для функций регулярных на бесконечности справедливы 1-я, 2-я и 3-я формулы Грина.
Можно показать, что если гармоническая функция 0 при