- •1.1. Простейшие уравнения
- •1.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •1.3. Линейные уравнения первого порядка
- •Задачи
- •2.1. Структура общего решения
- •2.2. Общее решение однородного уравнения
- •2.3. Решение неоднородного уравнения
- •Задачи
- •3.1. Предварительные сведения
- •3.2. Метод исключения неизвестных
- •Задачи
- •4.1. Задача о росте производства
- •4.2. Определение спроса по эластичности
- •4.3. Непрерывное регулирование цены
- •4.4. Тенденции рынков
- •Задачи
- •Ответы и решения к задачам главы 1
- •Ответы и решения к задачам главы 2
- •Ответы и решения к задачам главы 3
- •Ответы и решения к задачам главы 4
- •Ответы и решения к задачам для повторения
29B4.3. Непрерывное регулирование цены
Для заданных функций спроса и предложения D( p) и S( p) (убы-
вающей и возрастающей соответственно) рассмотрим разность x( p) = D( p) −S( p) , называемую избыточным (или неудовлетворенным)
спросом. Можно предположить, что цена некоторого товара |
p(t) изме- |
няется со временем в соответствии с уравнением |
|
p′ = kx( p) , |
(24) |
где k > 0 – некоторая постоянная. Равновесная цена p , определяется из алгебраического уравнения x( p ) = D( p ) −S( p ) = 0 . Используя уравнение (24), выясним, как будет изменяться цена p(t) , если в начальный
момент времени она отличается от равновесной.
Заметим, что при сделанных предположениях функция x( p) монотонно убывает. Поэтому, если в некоторый момент времени выполнено p > p (цена превышает равновесную), то x( p) < 0. Тогда из (24) следует, что p′< 0 , и значит функция p(t) убывает. Аналогично, если p < p , то p′ > 0 и функция p(t) возрастает. Другими словами, в обоих случаях изменение цены направлено в сторону ее равновесного значения.
Пример 19. Функции спроса и предложения имеют вид
D( p) = 21−4 p , S( p) = −3 +2 p ,
а поведение цены описывается уравнением (24) с k =1. Найти p(t) , если p(0) = 2.
Решение. В условиях задачи имеем x( p) = D( p) −S ( p) = 24 −6 p , и уравнение (24) принимает вид
p′ = 24 −6 p .
Это линейное уравнение первого порядка. В качестве его частного решения можно взять стационарное решение pˆ = 4 . Соответствующее
однородное уравнение имеет общее решение p0 =Ce−6t . Поэтому общее решение рассматриваемого неоднородного уравнения имеет вид
p = 4 +Ce−6t .
Из начального условия при t = 0 получим 4 +C = 2, то есть C = −2 . Следовательно, решение задачи дается формулой
p(t) = 4 −2e−6t .
В этом случае начальная цена p(0) = 2 меньше равновесной цены p = 4 и с течением времени цена растет, приближаясь к своему равновесному значению.
85
Заменив в (24) правую часть произвольной монотонно возрастающей функцией f (x) , удовлетворяющей условию f (0) = 0 , получим бо-
лее общее уравнение
p′ = f (x( p)) . |
(25) |
Например, можно положить f (x) = x3 . Все выводы относительно поведения цены p(t) , сделанные выше для уравнения (24), остаются в силе и в этом случае.
Пример 20. Функции спроса и предложения имеют вид
D( p) =15 −2 p , S( p) = −3 + p ,
а изменение цены подчиняется уравнению (25) с f (x) = x3 . Найти p(t) , если p(0) = 7 .
Решение. В этом случае x( p) = D( p) −S ( p) =18 −3 p , и уравнение
(24)принимает вид
p′ = (18 −3 p)3 .
Это уравнение с разделяющимися переменными. Имеем
dp |
= dt |
==> ∫ |
dp |
= ∫dt |
|
1 |
|
−2 |
|
1 |
|
|
==> |
6 |
(18 −3 p) |
|
=t + |
6 C , |
|||
(18 −3 p)3 |
(18 −3 p)3 |
|
откуда
18 −3 p = ±(6t +C)−1/2 .
Положив t = 0 , p = 7 , получим −3 = ±C−1/2 , откуда видно, что в пра-
вой части следует выбрать знак минус и C = 19 . Поэтому
18 |
|
6t + |
1 |
−1/2 |
−3 p = − |
9 |
|
||
|
|
|
|
и, следовательно, p = 6 + |
1 |
. |
|
||
|
54t +1 |
В этом случае начальная цена p(0) = 7 больше равновесной цены p = 6 и с течением времени цена монотонно убывает, приближаясь к своему равновесному значению.
30B4.4. Тенденции рынков
При моделировании поведения рынка, выбирая функций спроса и предложения, принимают в расчет не только их зависимость от текущей цены p(t) , но и от того, как быстро эта цена растет или падает, а также
от того, насколько быстро замедляется или возрастает скорость ее изме-
86
нения. При этом в выражениях для D( p) и S( p) появляются производные p′(t) и p′′(t) , и уравнение D( p) = S( p) для определения равновес-
ной цены становится дифференциальным. В простейшем случае, когда спрос и предложение являются линейными функциями от цены и ее производных, возникает линейное дифференциальное уравнение второго порядка.
Пример 21. Спрос и предложение связаны с текущей ценой p(t) и ее производными формулами
D( p) = 24 −2 p + p′−3 p′′, S ( p) = 4 +6 p +3 p′−4 p′′.
Используя условие D( p) = S ( p) , найти равновесную цену p(t) , если p(0) =8 , p′(0) = −2 .
Решение. Условие D( p) = S( p) приводит к линейному дифференциальному уравнению второго порядка
p′′−2 p′−8 p = −20 .
Рассмотрим однородное уравнение. Соответствующее характеристическое уравнение λ2 −2λ −8 = 0 имеет корни λ1 = −2, λ2 = 4 . Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид p0 =C1e−2t +C2e4t . Частное решение исходного уравнения ищем в виде pˆ = A . Подстановка в уравнение дает A = 2,5 . По формуле p = p0 + pˆ находим общее решение исходного уравнения:
p =C e−2t +C |
e4t |
+2,5. |
|
1 |
2 |
|
|
Отсюда для производной получаем |
p′ = −2C1e−2t +4C2e4t . С учетом |
||
начальных условий при t = 0 находим |
|
|
|
C1 +C2 +2,5 =8, |
−2C1 +4C2 = −2, |
то есть C1 = 4 , C2 =1,5 . Следовательно, искомое решение имеет вид p = 4e−2t +1,5e4t +2,5 .
Задачи
23. Найти решение уравнения естественного роста y′ = 4 y , удовлетворяющее начальному условию y(0) = y0 . За какое время T величина y
удвоится по сравнению с начальным значением?
24. Найти решение логистического уравнения y′ = (8 − y) y , удовлетворяющее начальному условию y(0) = 4. Чему равен предел y(t) при t →+∞?
87
В задачах 25 и 26 требуется определить спрос D( p) по его эластичности и начальному значению.
25.ED ( p) = − p22 p+26 , D(2) =8 .
26.ED ( p) = −2 p( p +1) , D(1) = 4 .
В задачах 27 и 28 использовано обозначение x( p) = D( p) −S( p) . |
|
|||||||||||
27. |
Зависимости |
спроса |
и |
предложения |
от |
цены |
имеют |
|
вид |
|||
D( p) = |
1 |
|
1 |
p . |
Найти |
p(t) , |
если |
′ |
|
|
и |
|
5 − 2 p , |
S( p) = −3 + 2 |
p (t) = 2x( p) |
||||||||||
p(0) = 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28. |
Зависимости |
спроса |
и |
предложения |
от |
цены |
имеют |
|
вид |
|||
D( p) =14 − p , |
S( p) = −5 +4 p . |
Найти |
p(t) , |
если |
|
′ |
|
3 |
и |
|||
|
p (t) = (x( p)) |
|
p(0) = 3 .
29. Спрос и предложение связаны с текущей ценой p(t) и ее производными формулами
D( p) = 28 − p −3 p′+2 p′′, S( p) = −2 +5 p + p′.
Используя условие D( p) = S ( p) , найти равновесную цену p(t) , если p(0) = 3 , p′(0) = 6 .
88
12BЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1. |
Решить уравнение y′+3xy2 = 20xy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
Найти решение |
уравнения |
|
y′+2 y = 6x −11, |
удовлетворяющее |
на- |
|||||||||||||
|
чальному условию y(0) = −6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
Решить уравнение y′′+3y′−10 y = −36e−x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
Решить систему |
y′ = y −5y |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
y2′ = −2 y1 +4 y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
|
|
|
|
y′ = y +4 y |
, |
удовлетворяющее началь- |
||||||||||||
Найти решение системы |
1 |
1 |
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
y2′ = 4 y1 + y2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ным условиям y1 (0) =5 , y2 (0) = −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6. |
Эластичность спроса задана формулой ED ( p) = − |
|
2 p |
|
|
. Найти функ- |
|||||||||||||
p +1 |
|||||||||||||||||||
|
цию спроса D( p) , если D =9 при p = 2 . |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7. |
Функции |
спроса |
и |
предложения |
имеют |
вид |
|
D( p) =14 −3 p |
и |
||||||||||
|
S( p) = −2 + p . Найти зависимость p(t) |
цены от времени, если изме- |
|||||||||||||||||
|
нение |
цены |
описывается |
уравнением |
|
′ |
|
|
1 |
где |
|||||||||
|
p |
(t) |
= 2 x( p) , |
||||||||||||||||
|
x( p) = D( p) −S( p) , а начальная цена равна p(0) =1. |
|
|
|
|
||||||||||||||
8. |
Спрос и предложение связаны с текущей ценой p(t) |
и ее производ- |
|||||||||||||||||
|
ными формулами D( p) =14 −2 p +2 p′− p′′, S( p) = −2 +2 p − p′−2 p′′. |
||||||||||||||||||
|
Используя условие D( p) = S( p) , |
найти равновесную цену p(t) , если |
|||||||||||||||||
|
p(0) = 4, |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p (0) = −5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
89