Тогда можно сделать замену t =(x +3)2 ≥ 0 , и исходный ряд запишется в

∞

t

n

виде

t ∑

. Найдем теперь радиус сходимости степенного

(n +2)

2

7n

n=1

∞

t

n

(

n +3

)

2

7

n+1

n +3

2

ряда

∑

:

R = lim

= 7 lim

= 7 . Его интер-

(n

+ 2)

2

7

(n

+2)

2

7

n 1

n

n→∞

n

n→∞ n +2

=

валом сходимости будет промежуток (−7;7). Учитывая, что t ≥ 0 , исследуем поведение ряда при t = 7 : по второму (или первому) признаку

	∞	1
	сравнения ряд ∑					сходится, как и соответствующий обобщен-
		(n +	2)	2
	n=1
				∞			1
	ный гармонический ряд ∑							. Переходя к исходной переменной, полу-
							2
	чим (x +3)2 ≤ 7 , −			n=1			n
		7 ≤ x +3 ≤						7 , т.е. −3 − 7 ≤ x ≤ −3 + 7 , что является

областью сходимости ряда с четными степенями. Наконец, так как множитель (x +3) ограничен на найденной области сходимости, то умноже-

	∞		2n
ние степенного ряда ∑(x		2+3)n на множитель не меняет области его
	n=1 n		7
сходимости. Поэтому	−3 −		7; −3 + 7		− область сходимости исходно-

го ряда.

Упражнение 4. Найти область сходимости степенного ряда

(x −1)3 + 2 23 (x −1)6 + 4 35 (x −1)9 + 8 47 (x −1)12 +... .

22B2.2. Разложение функций в ряд Маклорена

Пусть функция f (x) является суммой некоторого степенного ряда

f (x)= a	+a x +a x2		+a x3	+... +a xn +...,
0	1	2	3	n
интервал сходимости которого		(−R; R).		Тогда говорят, что функция

f (x) разлагается в степенной ряд на интервале (−R; R). При этом, ес-

ли функция f (x) определена в окрестности точки x = 0 и имеет в этой точке производные всех порядков, то

an = f (n) (0), n = 0,1,2,....

n!

24

	Степенной ряд
	f (x)= f (0)+	f ′(0)	x +	f ′′(0)	x2 +	f ′′′	(0)	x3 +... +	f (n) (0)	xn +...	(11)
		1!		2!		3!			n!
	называют рядом Маклорена для функции						f	(x). Таким образом,			если

функция f (x) разлагается в степенной ряд в окрестности точки x = 0 , то этот ряд является ее рядом Маклорена. При этом разложение функ-

ции в степенной ряд в окрестности нуля однозначно, и

говорят, что

функция f (x) разлагается в ряд Маклорена.

Пример 7. Найти ряд Маклорена для функции f (x)= ex .

Решение. Для

функции

f

(x)= ex

производная

n -го

порядка

f (n) (x)= ex . Поэтому

f (n) (0)=1,

и

ряд

Маклорена

для

функции

f (x)= ex имеет вид 1+ x +

x2

+

x3

+K+

xn

+K.

3!

2!

n!

Возникает естественный вопрос о том, при каких условиях сумма

ряда (11) сходится к функции

f (x) .

Ответом на этот вопрос является

достаточное условие разложимости функции в ряд Маклорена. А именно, если f (x) определена и бесконечно дифференцируема на интервале

(−r, r) и существует такая константа M , что во всех точках этого интервала

	f (n) (x)		< M (n =0,1, 2,K),	(12)
то на интервале (−r, r) ряд Маклорена сходится к					f (x) .
Вернемся теперь к ряду Маклорена для функции f (x)= ex из при-
мера 7. Заметим, что на любом интервале (−r, r):					f (n) (x)		= ex < er . В си-

лу условия (12) ряд сходится к ex для любого x (−r, r), а в силу произ-

вольности r и для любого действительного x . Теперь мы можем записать, что для любого x

ex =1+ x + x2 + x3 +K+ xn +K. 2! 3! n!

Упражнение 5. Найти ряд Маклорена для функции f (x)= (1 + x)α , α R и его радиус сходимости.

25

Пример 8. Найти ряд Маклорена для функции f (x)=sin x .

Решение.

Последовательно находим,

что

f ′(x)= cos x,

f ′′(x)= −sin x,

f ′′′(x)= −cos x и f (4) (x)=sin x = f (x).

Таким образом,

производная любого порядка

функции f (x) ограничена, а именно

f (n) (x)

≤1 < 2 ,

а поэтому достаточное условие

(12) сходимости ряда

Маклорена к функции f (x)=sin x выполнено для любого x . Далее, все

производные четного порядка

f (2k )

(0)= 0 , а производные нечетного

порядка f (2k+1) (0)=(−1)k . Поэтому

x

3

x

5

x

7

∞

x

2n+1

sin x = x −

+

−

+... = ∑(−1)n

(13)

(2n +1)!

3!

5!

7!

n=0

и ряд сходится к функции f (x)=sin x для любого x R .

Отметим, что если функция разлагается в ряд Маклорена на интервале (−R; R), то она бесконечно дифференцируема и интегрируема на

интервале сходимости. При этом разложение любой ее производной в степенной ряд получается почленным дифференцированием ряда (11), а

интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов этого ряда, причем радиус сходимости R остается неизменным.

Пример 9. Найти ряд Маклорена для функции f (x)=cos x .

Решение. Почленным дифференцированием ряда (13) получаем

′

′

x3

′

x5 ′

x7

′

x2

x4

x6

∞

n

x2n

cos x =(sin x)

=x

−

+

−

+... =1−

+

−

+... =∑(−1)

,

2!

4!

6!

3!

5!

7!

n=0

(2n)!

ряд сходится к функции f

(x)

=cos x для любого x R .

Упражнение 6. Используя ряд

1+1 t =1−t +t2 −t3 +K+(−1)n tn +K

для суммы убывающей геометрической прогрессии с единичным первым членом и знаменателем −t, t <1, найти ряд Маклорена для функ-

ций f (x)= ln (1+ x) и f (x)= arctg x .

Объединяя результаты примеров и упражнений, получим таблицу разложений в ряд Маклорена основных элементарных функций, где в скобках указан радиус сходимости соответствующих рядов.

26

x

2

x

3

x

4

∞

n

1.

ex =1+ x +

+

+

+... = ∑

x

(R = ∞)

n!

2!

3!

4!

n=0

x

3

x

5

x

7

∞

x

2n+1

2.

sin x = x −

+

−

+... = ∑(−1)n

(R = ∞)

7!

(2n +1)!

3!

5!

n=0

x

2

x

4

x

6

∞

x

2n

3.

cos x =1−

+

−

+K= ∑(−1)n

(R = ∞)

4!

6!

(2n)!

2!

n=0

1

∞

4.

=1+ x + x2 + x3

+ x4

+... = ∑xn .

(R =1)

1− x

n=0

1

∞

5.

=1− x + x2 − x3

+ x4

−... = ∑(−1)n xn (R =1)

1+ x

n=0

x

2

x

3

x

4

x

5

∞

x

n

6.

ln(1+ x) = x −

+

−

+

−... = ∑(−1)n−1

(R =1)

2

n

3

4

5

n=1

x

3

x

5

x

7

∞

x

2n+1

7.

arctg x = x −

+

−

+... = ∑(−1)n

(R =1)

2n +1

3

5

7

n=0

8.

α

α

α(α −1)

2

α(α −1)...(α −n +1)

n

(1+x)

=1+

1! x

+

x

+K+

x

+K (R =1)

2!

n!

Рассмотрим далее примеры применения этой таблицы.

Пример 10. Разложить в ряд Маклорена и найти интервал сходимости функции f (x)= x2e−2 x .

Решение. Заменяя в табличном разложении 1 аргумент на −2x ,

имеем e−2 x =1−2x + 4x

2

− 8x

3

+16x

4

∞

n

x

n

+... = ∑(−1)n 2

и,

умножая обе

2!

3!

4!

n=0

n!

∞

2

n

x

n+2

части на x2 , окончательно получаем, что x2e−2 x = ∑(−1)n

, причем

n=0

n!

an

2n (n +1)!

= lim n +1 =∞.

радиус сходимости ряда равен R = lim

= lim

a

2n+1 n!

n→∞

n→∞

n→∞

2

n+1

Упражнение 7. Разложить в ряд Маклорена функцию

f (x)

= ln 1+3x

1−3x

и найти радиус сходимости ряда.

Упражнение 8. Разложить в ряд Маклорена функцию f (x)=sin2 x и

найти радиус сходимости ряда.

Пример 11. Разложить в ряд Маклорена и найти интервал сходимо-

	сти функции f (x)=		5x −1	.
		x2	−5x +6

27

Решение.

С помощью метода неопределенных коэффициентов

находим разложение

5x −1

5x −1

9

14

9

1

14

1

=

= −

+

=

2

−

3

.

x2 −5x +6

(x −2)(x −3)

x −2

x −3

1− x 2

1− x 3

Теперь применим к обеим дробям табличное разложение 4:

1

∞

x n

1

∞

x

n

= ∑

и

=

∑

. Таким образом, получаем

1 − x 2

1 − x

3

3

n=0

2

n=0

9

∞ x

n

14

∞

x

n

∞

9

14

n

f (x)

=

∑

−

∑

=

∑

−

x

.

2

3

2

n+1

n+1

n=0

2

n=0 3

n=0

3

Находим радиус сходимости ряда:

9

−

14

n+1

−14

2

n+1

n+2

3−14 2

n+1

n+2

2n+1

3n+1

R =lim

=lim

(9 3

)6

==6 lim

3n+2 =2.

− n+2

(

)

(

n→∞

n+2

n→∞

n+2

n+2

n+1

n→∞

)

9

14

9 −14 2 3

9 3

−14 2 6

2

3

Упражнение 9. Разложить в ряд Маклорена и найти интервал сходи-

мости функции f (x)=

1

.

9 + x2

Пример

12.

Найти

сумму

степенного

ряда

x + 2x2 +3x3 +..., где

| x |<1.

Решение. Преобразуем исходный ряд, т.е. вынесем переменную

xза скобку: x(1+2x +3x2 +...). Тогда члены стоящего в скобках ряда

представляют собой производные степенной функции nxn−1 =(xn )′. Ин-

тегрируя этот ряд почленно, получаем сумму геометрического ряда, первый член и знаменатель которого равны x :

x

x

1+2t +3t2 +... +(n +1)tn +... dt = x + x2 + x3 +... + xn +... =

.

∫(

)

1

− x

0

Значит сумма ряда в скобках является производной функции

x

,

1

− x

x ′

т.е.

равна

1

,

а

сумма

исходного

равна

=

(1− x)

2

1− x

x(1+2x +3x2 +...)= (1−xx)2 .

28