- •Белкоопсоюз
- •Удк 51 ббк 22.11
- •Пояснительная записка
- •Программа курса
- •1. Случайные события и вероятность
- •2. Случайные величины и законы их распределения
- •3. Нормальный закон распределения
- •1. События и вероятности
- •1.1. Классификация событий
- •1.2. Классическое определение вероятности
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.3. Статистическое определение вероятности
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.4. Геометрическое определение вероятности
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.5. Действия над событиями
- •Сложение и умножение вероятностей. Теоремы сложения вероятностей
- •Теоремы умножения вероятностей
- •Вероятность произведения зависимых событий
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.6. Формула полной вероятности. Формула Бейеса
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.7. Повторные независимые испытания
- •Формула Бернулли
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Простейший поток событий
- •Локальная теорема Лапласа
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Интегральная теорема Лапласа
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Наивероятнейшее число появлений события
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2. Случайные величины
- •2.1. Понятие случайной величины
- •2.2. Функция распределения
- •Основные свойства функции распределения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.3. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.4. Плотность распределения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.5. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.6. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •Равномерное распределение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Нормальное распределение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Показательное распределение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.7. Функция одной случайной величины
- •3. Система двух случайных величин
- •3.1. Условные законы распределения вероятностей составляющих дискретной двумерной случайной величины
- •3.2. Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Индивидуальные задания
- •Список рекомендуемой литературы
- •Приложения
2.2. Функция распределения
Наиболее общей формой задания случайной величины является функция распределения.
Функцей распределения (интегральной функцией) случайной величины X называется функция действительной переменной х, определяемая равенством
F(x) =P(X<x), (40)
где P(X < x) – вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x.
Основные свойства функции распределения
1. Функция распределения является неубывающей, т. е. если x1 < x2, то .
2. .
3. Если возможные значения случайной величины , то при , , .
4. Вероятность того, что значение случайной величины X окажется на заданном интервале (a;b) определяется формулой
. (41)
Функция распределения F(x) для дискретной случайной величины X, которая может принимать значения x1, x2, …, xn с соответствующими вероятностями, имеет следующий вид:
, (42)
где символ означает, что суммируются вероятности тех значений, которые меньше x.
Пример 2.4. Найти функцию распределения случайной величины, если закон распределения дискретной случайной величины задан следующей таблицей:
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
Р |
0,2 |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
Решение.
1. При .
, так как величина X не принимает значений меньше 0.
2. При .
.
3. При .
.
4. При .
F(x) == P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,2 + 0,4 + 0,3 = = 0,9.
5. При x > 3.
F(x) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,2 + 0,4 + 0,3 + + 0,1 = 1.
График функции F(x) отражен на рис. 2.2.
Рис. 2.2
Вероятность попадания случайной величины X в интервал (2;5) равна P(2 < X < 5) = F(5) – F(2) = 1 – 0,6 = 0,4.
Пример 2.5. Охотник имеет 4 патрона и стреляет до первого попадания в цель (или пока не израсходуются патроны). Найти функцию распределения числа израсходованных патронов, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,25.
Решение. Вероятность попадания р = 0,25, следовательно q = 0,75.
Случайная величина X (число израсходованных патронов) имеет следующие значения: x1 = 1 (одно попадание), x2 = 2 (один промах и одно попадание), x3 = 3 (два промаха и одно попадание), x4 = 4 (три промаха и одно попадание или четыре промаха).
Найдем вероятность того, что стрельба закончится при четвертом выстреле, т. е. первые три выстрела дали промахи, а четвертый выстрел – попадание. Так как события независимы, то искомая вероятность p = q · q · q · p = q3 · p. Тогда искомый закон распределения запишем в виде следующей таблицы:
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
P |
0,25 |
0,75 · 0,25 = = 0,1875 |
0,752 · 0,25 = = 0,1406 |
0,753 · 0,25 + 0,754 = = 0,4219 |
.
Функция распределения имеет вид:
Задачи для самостоятельного решения
1. Игральную кость подбрасывают 3 раза. Найти закон распределения случайной величины X (число невыпадений единицы).
-
X
0
1
2
3
P
2. В партии 6 деталей, из которых 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Найти функцию распределения случайной величины X (число стандартных деталей среди отобранных).
-
X
0
1
2
3
P
3. Две игральные кости бросают 2 раза. Написать закон распределения случайной величины X (число выпадений четного числа очков на двух игральных костях).
X |
0 |
1 |
2 |
P |
|
|
|
4. Подбрасываются две монеты. Найти функцию распределения случайной величины X (число выпадений герба на верхних сторонах монеты). Построить график этой функции.
5. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на “отлично”, наугад извлекают 3 работы. Найти функцию распределения случайной величины X (число оцененных на “отлично” работ среди извлеченных). Используя функцию распределения, найти вероятность события .