![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Белкоопсоюз
- •Пояснительная записка
- •Программа дисциплины
- •Тема 1. Случайные события и вероятность
- •Тема 2. Случайные величины и законы их распределения
- •Тема 3. Закон больших чисел
- •Тема 4. Основы математической статистики
- •1. Основные понятия и теоремы теории
- •1.1. Классификация событий. Действия над событиями
- •Испытанием называется осуществление определенной совокупности условий.
- •Произведением двух событий а и в называют событие ав, состоящее в совместном появлении этих событий.
- •1.2. Понятие вероятности
- •1.2.1. Классическое определение вероятности
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.2.2. Геометрическое определение вероятности
- •Решение
- •1.2.3. Статистическое определение вероятности
- •Решение
- •Решение
- •1.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.4. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •2. Повторные независимые испытания
- •2.1. Формула Бернулли
- •2.2. Теорема Пуассона
- •2.3. Локальная теорема Муавра-Лапласа
- •2.4. Интегральная теорема Лапласа
- •2.5. Наивероятнейшее число появлений события
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •3. Случайные величины, их распределение
- •3.1. Понятие случайной величины. Классификация случайных
- •3.2. Закон распределения дискретной случайной величины
- •Решение
- •3.3. Числовые характеристики дискретных
- •3.4. Непрерывные случайные величины
- •3.5. Числовые характеристики непрерывной
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •4. Некоторые законы распределения
- •4.1. Биномиальный закон распределения
- •4.2. Закон Пуассона
- •4.3. Равномерное распределение
- •4.4. Показательное распределение
- •4.5. Нормальное распределение
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •5. Двумерные случайные величины
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •6. Закон больших чисел
- •6.1. Неравенство Маркова
- •6.2. Неравенство Чебышева
- •6.3. Теорема Чебышева
- •6.4. Теорема Бернулли
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •7. Выборочный метод
- •7. 1. Выборка
- •7.2. Статистические ряды
- •7.3. Эмпирическая функция распределения
- •Вопросы для самоконтроля
- •7.4. Числовые характеристики выборки
- •7.5. Интервальные оценки неизвестных параметров
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •9. Исследование взаимосвязи
- •9.1. Ковариация и корреляция
- •9.2. Регрессия
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •Список рекомендуемой литературы
- •Содержание
- •Теория вероятностей
- •246029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.
- •246029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.
4.2. Закон Пуассона
Случайная величина x, которая может принять возможное значениеX=k(k = 0;1; …) с вероятностью, определяемой по формуле Пуассона
,
называется распределенной по закону Пуассона.
Постоянная
называется
параметром.
Теорема. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, распределенной по закону Пуассона равны параметру.
Тест 4.5.Математическое ожидание случайной величиныX, распределенной по закону Пуассона:
равно:
1) m;
2);
3)
;
4)
;
5)
.
Тест 4.6.Дисперсия случайной величиныX, распределенной по закону Пуассона:
равна:
1) m;
2) ;
3)
;
4)
;
5)
.
Тест 4.7. случайная величина X называется распределенной по закону Пуассона, если она принимает возможные значения с вероятностью, определяемой по формуле:
1)
;
2)
;
3);
4)
;
5)
.
4.3. Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина называется равномерно распределенной на интервале (a;b), если плотность ее распределения имеет следующий вид:
Функция распределения равномерно распределенной случайной величиныимеет следующий вид:
Теорема.Для
равномерно распределенной случайной
величины математическое ожидание
вычисляется по формуле,
дисперсия вычисляется по формуле
,
среднее квадратическое отклонение
вычисляется по формуле
.
Пример 4.1. Найти
математическое ожидание, дисперсию,
среднее квадратическое отклонение
случайной величиныX, распределенной
равномерно в интервале.
Решение
1. Математическое
ожидание находим по формуле
.
По условиюa= 2;b= 8. Следовательно,
имеем:
.
2. Дисперсию находим
по формуле
.
Имеем:
.
3. Находим среднее квадратическое отклонение:
.
примечание. Математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение можно находить также по определению.
Тест 4.8.Среднее квадратическое отклонение случайной величиныХраспределенной равномерно на интервале (2;8), равно:
1)
;
2) 0;
3) 1;
4)
;
5) 4.
Тест 4.9.Дисперсия случайной величиныX, распределенной равномерно на интервале (2;8), равна:
1) 3;
2) 0;
3) 1;
4)
;
5) 5.
Тест 4.10.Математическое ожидание случайной величины X, распределенной равномерно на интервале (2;8), равно:
1) 2;
2) 0;
3) 1;
4);
5) 5.
Тест 4.11.
Случайная величина Х
называется
равномерно распределенной на интервале,
если ее плотность распределения имеет
вид:
1)
;
2)
;
3);
4)
;
5)
.
Тест 4.12.
Если случайная величина подчинена
закону равномерного распределения на
интервале
,
ее плотность распределения равна:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Тест 4.13.
Закон равномерного распределения задан
дифференциальной функцией
в интервале (a;b)
и f(x)
= 0 вне этого интервала.
Интегральная функция F(X)
на интервале (a;b)
будет равна:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Тест 4.14.
Если, случайная величина подчинена
закону равномерного распределения на
интервале
,
ее математическое ожидание равно:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
4.4. Показательное распределение
Если дифференциальная
функция (плотность) распределения
вероятностей случайной величины
выражается
функцией
(4.1)
где k > 0 – параметр, то говорят, что случайная величинаX имеетпоказательное распределение.
Функция распределения такой случайной величины имеет вид
(4.2)
Теорема. Числовые характеристики случайной величины, распределенной по показательному закону, определяются по формулам:
;
;
.
Пример 4.2. Написать дифференциальную и интегральную функции показательно распределенной случайной величиныX, если параметрk = 6.
Решение
Подставив kв соотношения (4.1) и (4.2), получим
Пример 4.3. Непрерывная случайная величинаXраспределена по показательному закону, заданному интегральной функцией
Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал (2; 5).
Решение
Воспользуемся формулами вероятности попадания в интервал (a;b) случайной величины X:
1. черезF(x):
2. черезf(x)
Найдем f(x):
f(x)=F'(x)=
Ответ: e – 1,2 – e – 3.
Пример 4.4. Найти математическое ожидание, дисперсию и сред-нее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного дифференциальной функцией
Решение
Подставив k = 5 в формулы для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения, получим:
,
,
.
Тест 4.15.Параметрkпоказательного распределения, заданного дифференциальной функцией:
равен:
1) 2;
2) 0;
3) 1;
4)
;
5) 4.
Тест 4.16.Дисперсия показательного распределения, заданного дифференциальной функцией:
равна:
1) ;
2) 5;
3) 1;
4)
;
5) –5.
Тест 4.17. Математическое ожидание, дисперсия непрерывной случайной величины Х, распределенной по показательному закону
равны:
1) , ;
2)
;
3)
4) 1,0;
5)
.
Тест 4.18. Случайная величина X имеет показательное распределение, если ее дифференциальная функция (плотность) распределения равна:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.