Занятие 28 Центр тяжести.

Вопрос о центрах тяжести находится на стыке математики, прикладной и теоретической механики. Труды Аристотеля, Архимеда и Герона сохранены для всего средневековья. Леонардо да Винчи, несомненно, был знаком со многими трудами по механике. Помимо Аристотеля, Архимеда и Герона, он знал работы Евклида, Табита бен-Курра (826-901). Исследование центров тяжести плоских и объемных фигур, начатое великими мыслителями Архимедом и Героном, продолжил Леонардо да Винчи. Как Архимед нашел центр тяжести треугольника, так и Леонардо находит центр тяжести центр тяжести тетраэдра (а отсюда и произвольной пирамиды). К этому открытию он добавляет весьма изящную теорему о прямых, соединяющих вершины тетраэдра с центрами тяжести противоположных граней, пересекающихся в одной точке, являющейся центром тяжести тетраэдра и делящей каждую из прямых на две части, из которых та, что прилегает к вершине, втрое больше другой. Это первый результат, который наука добавила к исследованиям Архимеда о центрах тяжести.

Решение задач:

1. Из квадратной стальной пластины со стороной 20см вырезан прямой круглый цилиндр, ось которого перпендикулярна основанию пластины и расположена на диагонали основания на расстоянии четвертой части этой диагонали от ближайшей вершины квадрата. Найти положение центра тяжести такой пластины. Радиус цилиндра 5см.

СССОо·

-Р₁

h

С О А Р₁

Р

Решение: Центр тяжести цельной квадратной пластины расположен в точке О, а центр тяжести вырезанного цилиндра - в точке А. Центр тяжести фигуры, получившейся вычитанием цилиндра, расположен в точке приложения равнодействующей антипараллельных сил тяжести Р и –Р₁.

Для сложения таких сил известно

СО/АС = Р₁/Р.

Иначе СО/(АО +СО) = Р₁/Р.

Значит, АО/СО +1+= Р₁/Р.

АО – четверть диагонали основания пластины, а диагональ равна 2·ОВ = а√2 .

АО =АВ = 1/4а √2 . Искомый отрезок СО =1,73·10^-2м.

2. Кусок какой длины нужно отрезать от однородного стержня, чтобы его центр тяжести сместился на 10см?

3. Два шара одинакового объема, медный и цинковый, скреплены в точке касания. Найти положение центра тяжести системы шаров.

4. Из однородного диска радиусом 105,6см вырезан квадрат так, как показано на рисунке. Определить положение центра тяжести диска с таким вырезом.

5. В свинцовом шаре сделана сферическая полость, касающаяся поверхности шара и проходящая через его центр. Масса сплошного шара М, радиус шара R. Найти положение центра тяжести получившегося тела.

Занятие 29 Механические колебания.

Впервые о колебаниях маятника мы узнаем из работы Винченцо Вивиани, ученика Галилея « Исторические повествования о жизни синьора Галилея, члена академии деи Линчеи, благородного флорентийца». Винченцо Вивиани, ученик Галилея, который провел со своим учителем два последних года его жизни, рассказывает, что в 1583 году Галилей, наблюдая раскачивание лампады в Пизанском соборе, открыл закон постоянства периода качания маятника, причем, как советовал Кардан, время он измерял по биению собственного пульса. Это сообщение Вивиани многие считают легендой. Тем не менее Вивиани наверняка узнал об этом из собственных уст Галилея, и, если отбросить возможные приукрашивания, сущность рассказа Вивиани представляется истинной, потому что закон изохронизма рассматривается Галилеем и в «Диалоге о двух главнейших системах мира» и в «Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых наук». В последнем произведении один из участников диалога, Сальвиати, который представляет самого Галилея, действительно вспоминает о колебаниях лампады:

« Я тысячи раз наблюдал за колебаниями, в частности колебаниями подвешенной в церкви на длинном подвесе лампады, которую кто-нибудь нечаянно толкнул»

С этого началось изучение колебательных систем, а сейчас мы разбираем задачи о математических и пружинных маятниках, используя основные законы гармонических колебаний математической точки.

Решение задач:

1. Математический маятник длиной Lсовершает колебания вблизи вертикальной стенки. Под точкой подвеса маятника, на расстоянии ½ от нее по вертикали, в стенке забит гвоздь. Найти период Т колебаний маятника.

А О В

Решение:

На участке АО маятник совершает колебания на нити длиной L.

Период таких колебаний Т = 2π√L/g , а время, затрачиваемое на прохождение дуги АО, t₁=Т₁/4. На участке ОВ маятник совершает колебания на нити длиной L/2 с периодом Т₂ = 2π√(L/2)/g ,

причем время прохождения ОВ: t₂ = Т₂/4.

Пусть Т – искомый период колебаний маятника, тогда Т/2 =Т₁/4 + Т₂/4, Т =(Т₁ + Т₂)/2 = π√L/g ( 1+1/√2 ).

2. На какую часть длины надо уменьшить длину математического маятника, чтобы период колебаний маятника на высоте 10км был равен периоду его колебаний на поверхности Земли? Радиус Земли 6400км.

3. Определить период колебания тела массой 200г, подвешенного на пружине с коэффициентом жесткости 40Н/м.

4. На вертикально расположенной пружине с коэффициентом жесткости 60 Н/м подвешен груз массой 300г. Грузу сообщают начальную скорость 10 м/с, направленную вертикально вниз. Определить период и амплитуду колебаний груза.

5. Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом 0, 6 с и с амплитудой 10 см. Найти среднюю скорость точки за время, в течении которого она проходит путь 5 см: 1) из положения равновесия; 2) из крайнего положения.