7.4. Примеры решения задач

Задача 60. Найти функцию распределения дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения (табл. 7.8), и построить ее график.

Таблица 7.8

xi	3	4	6	7
pi	0,4	0,1	0,2	0,3

В соответствии с определением F(x) разобьем всю числовую ось на следующие интервалы:

1. ; для всехx из этого интервала F(x) = 0.

2. ; для всехx из этого интервала F(x) = 0,4.

3. ; для всехx из этого интервала F(x) = 0,5.

4. ; для всехx из этого интервала F(x) = 0,7.

5. ; для всехx из этого интервала F(x) = 1.

Таким образом,

0 при ;

0,4 при ;

F(x) = 0,5 при ;

0,7 при ;

1,0 при .

График построенной функции показан на рис. 7.2.

3 21 0 1 2 3 4 5 6 7

Рис.7.2

Задача 61.Урна содержит один красный и два белых шара, одинаковых во всем, кроме цвета. Из урны выбирают три шара так, что перед выбором следующего шара предыдущий шар возвращается в урну (выборка с возвращением). Найти биноминальное распределение числа красных шаров в выборке.

Решение. В данном случае производится n = 3 независимых испытаний. Каждое из испытаний состоит в выборе одного шара из трех. “Успех” – извлечение красного шара. Вероятность “успеха” р = 1/3. “Неудача” – извлечение белого шара. Вероятность “неудачи” q = 2/3. Биноминально распределенная случайная величина Х – число появлений “успеха” – может принимать четыре значения: от 0 до 3. Вычислим их вероятности по формуле Бернулли:

Составим таблицу вероятностей случайной величины Х (табл. 7.9).

Таблица 7.9.

	0	1	2	3
pi	8/27	4/9	2/9	1/27

Для контроля: 8/27 + 4/9 + 2/9 + 1/27 = 1.

Задача 63. Дана таблица вероятностей случайной величины Х (табл. 7.11).

Таблица 7.11

xi	1	2	3	4	5	6	7
pi	С	2С	2С	4С	С^2	2С^2	7С^2

1. Найти С. 2. Вычислить р(Х  5) и р(Х < 3).

Решение.

1. Константа С находится из условия . Имеем 9С + 10С² = 1, откуда С₁ = 1; С₂ = 0,1.

Вероятности не могут быть отрицательными, поэтому остается одно значение: С = 0,1. Таблица вероятностей случайной величины Х такова: (табл. 7.12)

Таблица 7.12

xi	1	2	3	4	5	6	7
pi	0,1	0,2	0,2	0,4	0,01	0,02	0,07

2. Событие {Х  5} есть в данном случае сумма следующих несовместных событий: А = {Х = 5}, В = {Х = 6}, С = {Х = 7}, р(Х  5) = р(А) + р(В) +

+ р(С) = 0,1. Аналогично р(Х < 3) = р(Х = 2) + р(Х = 1) = 0,3.