kotrolnaya_teoreticheskaya_mekhanika_dinamika

Основное уравнение динамики в рассматриваемом случае имеет вид

ma = ΣFi + ΣRi = G + N + Rc + Fyn,

где G – сила тяжести; N – нормальная реакция; Rc – сила сопротивления движению точки; Fyn – сила упругости пружины.

Рис. 2.4

Так как силы G и N на кинематические параметры точки не влияют, то они на рис. 2.4 не показаны.

Сила Rc сопротивления движению точки зависит от внешней среды, в которой эта точка перемещается.

Рассмотрим вариант, при котором сила Rc пропорциональна первой степени скорости V точки. Примером такой силы является сопротивление воздуха при движении тела. В этом случае силу Rc определяют по формуле Rc = – αV, где α – постоянный коэффициент пропорциональности, имеющий размерность [Н/(м/с)]. Коэффициент α численно равен силе сопротивления при скорости движения точки, равной 1 м/с. Сила сопротивления Rc всегда направлена в сторону, противоположную направлению скорости V.

Запишем дифференциальное уравнение горизонтального движения точки:

my= ΣFioy + ΣRioy = – αy – cy.

Это уравнение приведем к виду

y+ (α/m)y+ (c/m)y = 0.

Введем условные обозначения: α/m = 2n; c/m = k2. С учетом коэффициентов n, k дифференциальное уравнение движения приводится к стандартному виду:

y+2ny+k2y = 0,

51

где n – коэффициент, характеризующий сопротивление среды и имеющий размерность [рад/с] или [c-1].

В зависимости от соотношения величин n и k материальная точка может совершать или колебательное, или апериодическое (неколебательное) движение.

2.4. Затухающие колебания материальной точки

Рассмотрим первый вариант движения точки, при котором n < k. В этом варианте общее решение дифференциального уравнения имеет два вида:

y = e-nt(C1cos(( k2 n2		)t) + C2sin(( k2 n2 )t));
y = ae-ntsin((			k2 n2	)t + β),

где С1, С2, a, β – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям движения.

Эти выражения называют уравнениями затухающих коле-

баний материальной точки.

Пусть начальными условиями движения являются: t0 = 0; y0; y0. В этих условиях первый вид решения дифференциального

уравнения y+2ny+k2y = 0 выражается формулой

y = e-nt(y0cos((	k2 n2	)t) + ((y0+ny0)/			k2 n2	)sin((	k2 n2	)t)).
Постоянную величину				называют циклической час-
			k2 n2

тотой затухающих колебаний k*, которую определяют по фор-

муле

k* = k2 n2 .

Величина k* определяет число полных колебаний за промежуток времени, равный 2π = 6,28 с. Тогда имеем

y = e-nt(y0cos(k*t) + ((y0+ ny0)/k*)sin(k*t)).

Как правило, для практических расчетов используют второй вид общего решения дифференциального уравнения движения точки.

y = ae-ntsin(k*t + β),

где (k*t + β) – фаза затухающих колебаний; β – начальная фаза; a – постоянная интегрирования.

Для определения постоянных интегрирования a и β используют следующую совокупность формул:

а = (y0 )2 ((y0 ny0 )/k* )2 ; tgβ = y0k*/(y0 +ny0 );

52

sinβ = y0/ a; cosβ = (y0 +ny0 )/(аk*).

Для характеристики затухающих колебаний используют поня-

тие «период затухающих колебаний Т*».

Период затухающих колебаний – промежуток времени ме-

жду двумя последовательными прохождениями точки в одном направлении через положение покоя.

Период затухающих колебаний (T* 2 / k2 n2 = 2π/k*) больше периода свободных колебаний (T = 2π/k) точки.

На рис. 2.5 приведен общий вид графика затухающих колеба-

ний.

Рис. 2.5

На рис. 2.5 использованы начальные условия движения точки, приведенные на рис. 2.4. График затухающих колебаний располагается в зоне, ограниченной двумя кривыми линиями, описываемыми

математическими выражениями: y = аe-nt; y = – аe-nt.

53

Для характеристики затухающих колебаний используют также понятие «амплитуда аi затухающих колебаний».

Амплитуда затухающих колебаний – величина наиболь-

шего отклонения точки в ту или другую сторону от положения статического равновесия в течение каждого колебания.

Из рис. 2.5 видно, что амплитуда затухающих колебаний переменна. При этом последующая амплитуда аi+1 меньше предыдущей амплитуды аi. Это уменьшение характеризуется отношением

аi+1/ аi = e– nT*/2 = const.

Число e– nT*/2 называют декрементом колебаний; натуральный логарифм, т. е. величину nT*/2, называют логарифмическим декрементом.

Зная предыдущее значение аi амплитуды, последующее зна-

чение аi+1 находят по формуле

аi+1 = аi e– nT*/2.

Следует отметить, что в некоторых учебниках коэффициент n сопротивления среды называют коэффициентом затухания.

Практика показывает, что затухание колебаний происходит

очень быстро даже при малом сопротивлении. Так, например, при n = 0,05k имеем Т*= 1,00125Т, e–nT* = 0,7301, т. е. период Т* зату-

хающих колебаний отличается от периода Т свободных колебаний лишь на 0,125 %, а амплитуда аi за время одного полного колебания уменьшается на 0,27 своей величины, и после 10 полных колебаний становится равной 0,043 своего первоначального значения.

Таким образом, основное влияние сопротивления на свободные колебания материальной точки выражается в уменьшении амплитуды колебаний с течением времени, т. е. в затухании колебаний.

Затухающие колебания называют также колебаниями с ма-

лым сопротивлением внешней среды.

2.5. Апериодическое движение точки

Рассмотрим второй вариант движения точки, при котором n = k. В этом варианте движение точки теряет колебательный характер и становится апериодическим. В этом случае общее решение дифференциального уравнения

54

y+2ny+k2y = 0

имеет вид

y = e-nt(C1t + C2),

где С1, С2 – постоянные интегрирования, которые находятся по начальным условиям движения точки. Пусть при t0 = 0 точка имеет координату y0 и проекцию y0 скорости V0 на ось ОY. С использование

начальных условий уравнение апериодического движения точки имеет вид

y= e-nt(y0+(y0+ ny0)t).

Взависимости от начальных условий материальная точка может совершать одно из движений, графики которых показаны на рис.

2.6– 2.8. Эти графики соответствуют начальному отклонению точки от положения статического равновесия на величину y0 > 0.

На рис. 2.6 показан график движения точки с начальной скоростью V0, имеющей направление, совпадающее с направлением по-

ложительного отсчета координаты y. Начальные условия этого движения изображены на рис. 2.4.

Рис. 2.6

Так как проекция y0 > 0, то точка сначала удаляется от поло-

жения статического равновесия, а затем под действием восстанавливающей силы постепенно приближается к этому положению.

Графики (см. рис. 2.7 и 2.8) соответствуют движению точки с начальной скоростью V0, направленной противоположно направлению отсчета координаты y (y0 > 0; y0 < 0).

Рис. 2.7

55

Рис. 2.8

При достаточно большой начальной скорости точка может совершить один переход через положение статического равновесия и затем при обратном движении приближаться к этому положению

(см. рис. 2.7).

При начальных условиях (y0 > 0; y0 = 0) график функции y = f(t)

имеет вид, приведенный на рис. 2.8.

Рассмотрим вариант движения точки, при котором n > k. При таком варианте точка совершает апериодическое движение, описываемое уравнением

y = e-nt(C1e(n2-k2 )t + C2e (n2 k2 )t),

где С1, С2 – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям движения.

Графики движения точки в этом случае по существу не отличаются от графиков, приведенных на рис. 2.6 – 2.8.

Таким образом, если n = k или n > k, то точка совершает апериодическое движение. Такое движение называют также движени-

ем точки с большим сопротивлением внешней среды.

2.6. Вынужденные колебания материальной точки под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы и возмущающей силы

Практически наиболее важным является случай, при котором возмущающая сила Q изменяется по гармоническому закону, т. е. проекцию QOY этой силы на ось ОY определяют по закону

QOY = Hsin(pt + δ),

где Н – максимальный модуль, или амплитуда возмущающей си-

лы; р – частота возмущающей силы, равная числу полных цик-

лов изменения возмущающей силы за промежуток времени, равный

56

2π = 6,28 с; pt + δ – фаза возмущающей силы; δ – начальная фаза возмущающей силы.

Период τ изменения возмущающей силы определяют по его частоте:

τ = 2π/р.

Рассмотрим движение материальной точки на гладкой горизонтальной поверхности, происходящее под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы и возмущающей силы, изменяющейся по периодическому закону (рис. 2.9).

Рис. 2.9

Начало системы отсчета ОY поместим в положение статического равновесия материальной точки, соответствующее недеформированной пружине.

Основное уравнение динамики точки для рассматриваемого положения имеет вид

ma = ΣFi + ΣRi = G + Q + N + Fyn,

где G – сила тяжести; Q – возмущающая сила; N, Fyn – соответственно реакция гладкой поверхности и реакция растянутой пружины.

Следует отметить, что силы G и Q относятся к разряду активных сил, а силы N и Fyn отнесены к реакциям связей. Так как силы G и N не влияют на горизонтальное движение точки, то они на рис. 2.9 не показаны.

Запишем дифференциальное уравнение горизонтального движения точки:

my= ΣFioy + ΣRioy = Hsin(pt + δ) – cy.

Это уравнение приведем к виду

y+ (c/m)y = (H/m)sin(pt + δ),

где c/m = k2 – квадрат частоты свободных колебаний. Введем условное обозначение h = H/m [м/с2]. Тогда

57

y+ k2y = hsin(pt + δ).

Последнее выражение представляет собой дифференциальное уравнение вынужденных колебаний точки под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы и возмущающей силы, изменяющейся по периодическому закону.

Общее решение этого уравнения складывается из общего решения y* дифференциального уравнения y+ k2y = 0 и частного ре-

шения y** дифференциального уравнения y+ k2y = hsin(pt + δ). y = y* + y**;

y*= C1coskt + C2sinkt = Asin(kt + β); y** = (h/(k2 – p2))sin(pt + δ).

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний материальной точки приводится к виду

y = C1coskt + C2sinkt + (h/(k2 – p2))sin(pt + δ)

или к виду

y = Asin(kt + β) + (h/(k2 – p2))sin(pt + δ),

где С1, С2, А, β – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям движения точки.

Последнее уравнение показывает, что точка совершает сложное колебательное движение, складывающееся из двух гармонических колебаний. Первый член этого уравнения определяет свободные колебания, а второй – вынужденные колебания точки.

Таким образом, при одновременном действии восстанавливающей и возмущающих сил материальная точка совершает сложное колебательное движение, представляющее собой результат наложения свободных и вынужденных колебаний.

Следует отметить, что y** не содержит постоянных интегрирования и, следовательно, вынужденные колебания не зависят от начальных условий движения.

Вынужденные колебания, частота р которых меньше частоты k свободных колебаний (р < k), называют вынужденными колеба-

ниями малой частоты.

Если р > k, то эти колебания называют вынужденными коле-

баниями большой частоты.

При вынужденных колебаниях малой частоты (р < k) эти коле-

бания выражаются зависимостью

y** = (h/(k2 – p2))sin(pt + δ).

В этом случае фаза колебаний (pt + δ) совпадает с фазой возмущающей силы и, следовательно, материальная точка всегда отклонена от положения статического равновесия в ту сторону, в которую направлена в данный момент возмущающая сила Q (рис. 2.10).

58

Рис. 2.10

Амплитуду Ав вынужденных колебаний определяют по форму-

ле

Ав = h/(k2 – p2).

При вынужденных колебаниях большой частоты (р > k) эти ко-

лебания выражаются зависимостью

y** = (h/(р2 – k2))sin(pt + δ – π).

В этом случае амплитуду Ав вынужденных колебаний находят

по формуле

Ав = h/(р2 – k2).

Фаза вынужденных колебаний большой частоты (pt + δ – π) отличается от фазы возмущающей силы (pt + δ) на величину π, т. е. фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы противоположны. Это означает, что отклонение точки от начала координат О всегда противоположно направлению возмущающей силы Q в данный момент (рис. 2.11).

Рис. 2.11

Необходимо отметить, что при вынужденных колебаниях и малой (р < k) и большой частотах (р > k) максимальное отклонение точки от начала координат происходит в момент времени, когда модуль возмущающей силы Q достигает максимального значения Н

(Qmax = H).

59

В общем случае уравнения движения точки под действием постоянной системы сил, восстанавливающей и возмущающей сил записывают в следующем виде:

если р < k, то y = Asin(kt + β) + (h/(k2 – p2))sin(pt + δ); если р > k, то y = Asin(kt + β) + (h/(р2 – k2))sin(pt + δ – π).

На рис. 2.12 приведены общие виды графиков зависимостей y* = f1(t), y** = f2(t), y = f3(t) для случая, когда р > k, и начальных усло-

вий y0 > 0; y0 > 0.

Рис. 2.12

При определении величины амплитуды вынужденных колебаний Ав зачастую используют коэффициент динамичности η. Для этого вводят статическое отклонение 0 точки от положения статического равновесия (рис. 2.13) под действием постоянной силы Н, равной амплитуде возмущающей силы:

Q = Hsin(pt + δ).

Модуль силы Fyn пружины при действии на последнюю постоянной силы Н определяют по формуле

Fyn = с·Δ0,

60