28. Тепловое излучение, его характеристики и закономерности. Подход Рэлея-Джинса. Гипотеза планка.

Любое тело с температурой >0 излучает в окружающее пространство.

В опыте с нагреванием тела было установлено, что с увеличением температуры тела одновременно увеличивалась степень его излучения. За счёт теплового излучения тела обмениваются энергией.

Тела не только поглощают, но и излучают и степень поглощения у различных тел различна.

Нарушение равновесия между телом и излучением приводит к возникновению процессов, автоматически восстанавливающих равновесие.

Характеристики теплового излучения

T, ΔS, вещество. Тепловое излучение характеризуется непрерывным спектром.

Для характеристики излучения вводится интегральная величина и своеобразная дифференциальная величина, которая характеризует спектральный состав излучения.

1. Интегральная величина: Энергетическая светимость

Применяется для оценки теплового излучения во всем интервале длин волн (или частот) от 0 до .

R – численно равна энергии излучаемой телом в единицу времени с единицы поверхности во всём диапазоне частот – мощность излучения с единицы поверхности.

R [] = []

2. Излучательная (испускательная) способность: выделим маленький частотный диапазон , тогда => =

Испускательная способность численно равна мощности излучения с единицы площади поверхности тела в интервале длин волн единичной ширины или плотности потока энергии в единичном интервале длин волн.

Излучательная способность сильно зависит от температуры излучающего тела. Она характеризует излучение только вблизи какой-либо длины волны или частоты .

3.Вводится ещё одна величина характеризующая степень поглощения телом излучения

Е – полная энергия всего потока, - ее часть в определенном диапазоне. , и - та часть,

которая поглотится. Тогда - поглощательная способность (для светового потока в небольшом интервале частот, который поглощается). 0≤ aν ≤1

Поглощательная, как и излучательная способность сильно зависит от температуры излучающего тела, длины волны .

Закон Кирхгофа

Если взять замкнутую систему тел с разными температурами, то постепенно температуры всех тел выровняются. Равновесие может быть достигнуто за счёт только теплового излучения.

Тела с большей t остынут с меньшей t нагреются ( за счёт поглощения)

Когда будет достигнуто равновесие, то количество поглощений и излучений в единицу времени станет одинаковым.

Из опыта было установлено, что тела с большей испускательной способностью должны и больше поглощать.

===… - зависит от природы тела, а является универсальной функцией частоты излучения(длинны волны) и температуры тел.

Модель абсолютно чёрного тела

Под абсолютно твердым телом подразумевается тело, способное поглощать всякое падающее на него излучение, не отражая и не пропуская его.

У этой сферы при любой t есть собственное тепловое излучение, излучение выходящее из отверстия с большей степенью точности похоже на излучение абсолютно чёрного тела.

Луч света, падающий в полость, испытывает многократное отражение от стенок полости. При каждом отражении от стенок происходит частично поглощение энергии. В результате, независимо от материала стенок, интенсивность вышедшего излучения оказывается во много раз меньше падающего первичного луча.

Развивая теорию теплового излучения, Д.Релей(1900 г.) и Д.Джинс (1905 г.) предложили рассмотреть каждую стоячую электромагнитную волну как объект с двумя степенями свободы, одна из которых - электрическая, а другая - магнитная.      Согласно классической теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы, в состоянии термодинамического равновесия на каждую степень свободы системы приходится в среднем энергия, равная , где Дж/К - постоянная Больцмана. Поэтому для равновесного теплового излучения при температуре на каждую стоячую электромагнитную волну частоты приходится в среднем энергия . В этом случае получаем . Полученную формулу для спектральной плотности энергии равновесного теплового излучения можно преобразовать к формуле Рэлея –Джинса для испускательной способности абсолютно черного тела: . Формула Рэлея-Джинса достаточно хорошо согласуется с экспериментальными данными об излучении абсолютно черного тела в области малых частот или больших длин волн и резко расходится с опытом для больших частот или малых длин волн излучения. Кроме того, интегрируя по всем частотам, мы получаем бесконечные значения для интегральной плотности энергии равновесного теплового излучения и для энергетической светимости абсолютно черного тела . Действительно . Отсюда следует, что классическая теория теплового излучения приходит к выводу о том, что при конечных значениях энергии излучения равновесие между веществом и излучением невозможно. Этот вывод противоречит опыту.

Логичное объяснение удалось найти благодаря гипотезе Планка. Планк предположил, что энергия веществом излучается не непрерывно, а порциями (квантами): E=hν. В результате теоретическая функция полностью совпала с экспериментальной. h=6,22* .

Поскольку энергия внутри вещества распределена статически, случайно

~exp(-) ~exp (-)

29. Фотоэффект и его закономерности. Формула Эйнштейна для фотоэффекта. Фотоны.

В результате исследований было обнаружено, что фотоэффект (или точнее – внешний фотоэффект) состоит в выбивании электронов из вещества под действием падающего на него электромагнитного излучения (наблюдается в металлах, полупроводниках, диэлектриках). Устройство для наблюдения внешнего фотоэффекта изображено на рисунке.

К

А

При постановке данного опыта были зафиксированы следующие факты:

1. Из катода под действием излучения выбиваются электроны

2. Существует порог фотоэффекта при частоте излучения ν>= νпор

или длине волны λ<λкр когда выполняются данные условия фотоэффект наблюдается при любой интенсивности.

3. Eелектрона ~ ν (энергия электронов эквивалентна частоте излучения)

4. фотоэффект полностью безинерциальный

Допустим, что фотоэлемент включен в цепь, изобpажённую на pисунке. Пеpедвигая движок реостата и снимая показания с пpибоpов, можно найти вольт-ампеpную зависимость фотоэлемента. Пpи U = 0 чеpез элемент пpоходит небольшой ток (). Под действием света выpываются электpоны, катод заpяжается положительно. Выpванные электpоны вблизи катода создают отpицательно заpяженное облако, из котоpого большая часть электpонов попадает обpатно на катод (катод пpи U = 0 притягивает электроны), а часть электpонов из облака попадает на анод. Они и создают небольшой ток . Если увеличивать напpяжение, то по меpе его роста все большее число электронов за секунду попадает на анод. Ток насыщения опpеделяется тем количеством электронов, которые выpываются в секунду из металла.

Кривая а соответствует меньшей, а кривая b большей освещенности Е катода. Частота света в обоих случаях одинакова. При =0 небольшое число испущенных электронов достигает анода, обладая некоторой начальной скоростью, т.е. кинет энергией. По мере увеличения ускоряющего напряжения фототок возрастает. Пологий характер кривых показывает, что электроны вылетают из катода с разными скоростями. При некотором анодном напряжении все электроны, испускаемые катодом достигают анода- ток насыщения , n-число электронов, испускаемых катодом в секунду. Если изменить знак внешнего напряжения, то Эл, поле будет тормозить электроны и при некотором его значении электроны совсем перестанут достигать анода. Сам факт фотоэффекта возникает из электромагнитной картины излучения. У электронов появляется энергия за счёт раскачки их полем.

Но с точки зрения волновой картины фотоэффект должен обладать инерциальностью. Данное противоречие было разрешено Эйнштейном.

Гипотеза Эйнштейна

Свет не только излучается, но и поглощается в виде порций, квантов.

Фотоны, падая на поверхность металла, поникают на очень короткое расстояние в металл и поглощаются нацело отдельными его электронами проводимости. Они сразу же увеличивают свою энергию до значения, достаточного, чтобы преодолеть потенциальный барьер вблизи поверхности металла, и вылетают наружу.

Закон сохранения энергии позволяет написать простое соотношение, связывающее скорость фотоэлектронов с частотой поглощаемого света.

Энергия фотона после поглощения его, с одной стороны, расходуется на преодоление потенциального барьера (эта часть энергии называется работой выхода электрона из металла), а с другой стороны, частично сохраняется у электрона вне металла в виде кинетической энергии. Таким образом, соотношение для энергии таково:, где А - работа выхода электрона. Это соотношение подтверждает тот факт, что энергия фотоэлектронов, действительно, никак не зависит от интенсивности света, а линейно зависит от частоты света.

1. hν=Aвых ( hν<Aвых металл можно только нагреть но электроны не вылетят.)

2. Кинетическая энергия вылетевших электронов .

т.к. свет излучается и поглощается квантами, то световой поток это всегда поток

квантов (локализованных порций) – фотонов.

Свойства потока (они есть у фотона)

1. Eф =hν

2. импульс p=E/c= hν/c=h/λ

3. mo=0 если фотон останавливается то он исчезает.

m= hν - релятивистская масса фотона.

Три закона внешнего фотоэффекта:

1.Число фотоэлектронов n, вырываемых из катода за единицу времени, пропорционально интенсивности света.

2. Максимальная начальная скорость фотоэлектронов определяется частотой света и не зависит от его интенсивности.

3. Для каждого вещества существует “красная граница” фотоэффекта, те min частота света, при которой еще возможен фотоэффект. Она зависит от химической природы вещества и состояния его поверхности.

30. Гипотеза Луи де Бройля. Волновая функция. Принцип и соотношения неопределённостей.

Гипотеза Луи де Бройля

Электромагнитное излучение изначально трактовалось как волновой процесс, но вдруг у него обнаружились свойства, характерные для частиц. А не может ли быть, что явления, которые обусловлены свойствами частиц являются волновыми? (обратно) Согласно де Бройлю частицы должны обладать волновыми свойствами. Он объединил и => , . Любой объект на микроуровне, движущийся с импульсом p, должен характеризоваться некоторой длиной волны , которая зависит от импульса также, как это имеет место для фотона.

Опыт Дэвиссона и Джермера подтвердил эту гипотезу. Опыт –в откачанном сосуде металлическая пластинка, пучок электронов падает на неё под определённым углом, гальванометр регистрирует электроны , отражённые от пластинки. Исследовалась зависимость I, регистрируемой гальванометром, от угла падения. max I при . Эксперимент подтвердил гипотезу и позволил расчитать положение min и max при дифракции плоских электронных волн: max - ; min - ; .

Электронные волны падают на кристалл и отражаются от различных крист плоскостей. Отраженные волны интерферируют, что приводит к наличию max и min, где отраженные волны будут в фазе- max, иначе- min. Возникли вопросы: какова природа этих волн, все ли частицы обладают такими свойствами? Одно из предположений: в пучке электронов возникают волны пространственного заряда.

В электрическом пучке может распространятся волновой процесс. Если по каким-то причинам электроны начинают совершать колебания, то эти колебания распространяются. Отдельные электроны продемонстрировали наличие волновых свойств. Другие опыты показали, что волновые свойства характерны для отдельно взятой частицы (это не коллективный эффект).

Дифракция была обнаружена у электр. частиц, атомов и молекул.у них есть волновые свойства.

Длины волн де Бройля совпадали с дифракционной картиной.

Волновая функция

Де Бройль предполагает с частицами связывать некоторую волновую функцию.

Для свободно движущегося электрона:-уравнение плоской гармонической волны.

Какой смысл самой этой функции и её параметров?

1) *2π => => 2) => Частота зависит от энергии, волновое число от импульса. В результате опытов по дифракции электронных волн мы найдем волновую функцию, характеризующую электроны после рассеивания. Для тех направлений, где вероятность рассеяния больше, больше и значение , а для меньших- меньше и . Квадрат волновой функции характеризует плотность вероятности нахождения частицы в произвольной, достаточно малой области пространства.. Если как обычно пуляем электрон, то вероятность, что он окажется на dS экрана dP=ψ2dV . - плотность распределения вероятности. -означает, что частица обязательно находится в каком-то месте пространства. Интеграл берется по всей области пространства. Частица хоть где-то, да находится.

Квантовая механика утверждает, что возможно лишь вероятностное описание движения частиц. Если получена , то мы полностью описали движение. Понятия траектории для частиц нет. Электрон не кубик, даже в идеальных условиях не летит одинаково.

Принцип и соотношения неопределённостей

С

1)

остояние движения материальной точки полностью определено, если знаем её положение и скорость. С частицами – все не так. Пусть электрон заключен между двух стенок. Сжимаем стенки.Если частица имеет строго определенную координату в пространстве, то ее положение локализовано. 1)степень локализации - наименьшая, 2)-наибольшая. Величину Δ

2)

x, характеризующую ширину волновых пакетов называют неопределённостью координаты x. Чем меньше неопределенность, тем точнее известна координата x.Точность, с которой известно положение частицы Δx зависит от ее состояния движения, а значит и от вида волновой функции. Аналогичны соображения и для импульса. Так как импульс связан с длиной волны соотношением де Бройля, степень определенности импульса зависит от определенности величины λ. Если длина волны плохо определена, то плохо определен и импульс. Чтобы говорить о длине волны, волновая функция должна иметь периодичность. Т.е. точность определения импульса зависит от волновой функции частицы, а значит, от состояния ее движения. На рисунке, что при уменьшении Δx, увеличивается Δp. Если увеличивается локализация частицы, т.е. уменьшается Δx , то растет неопределенность импульса - увеличивается Δp . И наоборот. Сам принцип: реальные состояния частиц таковы, что координата и импульс, связанные с одним и тем же направлением не могут быть одновременно точно определены. Зная Δx мы не можем узнать Δp.

Δx=nλ , => => =>

В общем случае пси может быть не синусоидой, тогда слагаемых ряда Фурье больше и Δp больше.

точное - . ΔE – неопределённость энергии состояния частицы, Δt –время жизни состояния частицы. .

31. Уравнение Шредингера. Квантово-механическое описание свободных частиц.

Основная идея Шрёдингера состоит в том, чтобы математическую аналогию между геометрической оптикой и классической механикой перенести на волновые свойства света и частиц.

Получим уравнение Шрёдингера из выражения для волновой функции свободного электрона . Перепишем его в комплексной форме .

Используя связи частоты с энергией, а волнового числа с импульсом, получаем: .

В общем случае – полная энергия частицы, , – кинетическая энергия и –энергия взаимодействия.

Найдем первую производную по и вторую по координате от ф-ции : (1), (2).

Домножим уравнение (1) на , а уравнение (2) на (таким образом множители в правых частях будут иметь размерность энергии):

, .

Сложим полученные уравнения:

.

Так как , то последнее равенство перепишется в виде .

Это и есть уравнение Шрёдингера. Оно получено для одной координаты . Если его переписать для 3 координат , то введя оператор Лапласа, окончательно будем иметь

.

Уравнение Шрёдингера нельзя непосредственно вывести из фундаментальных законов классической физики. Уравнение Шрёдингера позволяет находить волновую функцию в произвольный момент времени. Для этого надо знать волновую ф-цию в фиксированный момент времени, массу частицы и энергию взаимодействия частицы с силовым полем. Найденная волновая ф-ция дает возможность рассчитать вероятность нахождения частицы в произвольной точке пространства для любого момента времени.

Основные свойства, которым должны удовлетворять волновые функции – решения уравнения Шрёдингера:

1. Волновая функция линейна, т.е. если …- решения уравнения, то их линейная комбинация – решение.

2. Первые частные производные по координатам являются линейными

3. Волновая функция и её пространственные производные должны быть однозначными, конечными и непрерывными.

4. При стремлении к ∞ значение волновой функции должно стремиться к нулю.

Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний.

Если силовое поле, в котором движется описываемая частица, стационарно, то потенциал его не зависит явно от времени, а функция имеет смысл потенциальной энергии и зависит только от координат . В этом случае волновую функцию можно представить как произведение двух. Одна функция зависит только от , другая – только от времени :

Подставим последнее выражение в уравнение Шрёдингера

.

После сокращения на временной множитель и некоторых элементарных преобразований получим: (*).

Это уравнение Шрёдингера для стационарных состояний. В него входит только координатная часть волновой ф-ции –. Если последняя будет найдена, то полная волновая ф-ция находится домножением координатной части на временной множитель .

Поскольку вероятность определяется квадратом волновой ф-ции, а квадрат комплексной величины находится умножением на комплексно сопряженную, то имеет место следующее соотношение для стационарных волновых функций:

Таким образом, чтобы найти волновую ф-цию для стационарных состояний, необходимо решить уравнение (*) и знать полную энергию .

Свободное движение частиц.

Во время свободного движения квантовой частицы никакие силы на нее не действуют и можно ее потенциальную энергию равной нулю. Пусть движение частицы происходит в направлении , тогда (*) принимает вид: .

Частным решением этого уравнения является ф-ции вида , где и – константы. Если подставить искомое решение в само уравнение, то мы получим связь энергии частицы и величины :

Полная волновая функция с учетом зависимости от времени для свободной частицы имеет вид . Это плоская монохроматическая волна с частотой и волновым числом . Так как , а , то .

Мы получили обычное выражение, связывающее кинетическую энергию и импульс нерелятивистской частицы. Величины и такой частицы ничем не ограничены, те свободная квантовая частица может иметь любое значение энергии и импульса. Вероятность обнаружения частицы в интервале координат определяется соотношением .

Величину, стоящую перед , будем называть плотностью вероятности .

Это означает равную вероятность обнаружения свободной частицы в любой точке направления , т.е. область движения вдоль «» у свободной частицы ничем не ограничена. Энергия частицы может быть любой, начиная с нуля, так как из уравнения Шрёдингера нет никаких ограничений на величину .