- •1.Понятие числовых множеств. Действия над числовыми множествами.
- •2.Числовые промежутки. Окрестность точки.
- •3.Функция.График функции. Способы задания функции.
- •4.Основные характеристики функции: монотонность, четность, периодичность.
- •5.Обратная функция.
- •6.Сложная функция.
- •7.Основные элементарные функции; (степенная, тригонометрические, обратно-тригонометрические, показательная, логарифмическая) их свойства и графики.
- •Корень n-ой степени.
- •Корень n-ой степени, n - четное число.
- •Корень n-ой степени, n - нечетное число.
- •Степенная функция с нечетным положительным показателем.
- •Степенная функция с четным положительным показателем.
- •Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.
- •Степенная функция с четным отрицательным показателем.
- •Степенная функция с рациональным или иррациональным показателем, значение которого больше нуля и меньше единицы.
- •Степенная функция с нецелым рациональным или иррациональным показателем, большим единицы.
- •Степенная функция с действительным показателем, который больше минус единицы и меньше нуля.
- •Степенная функция с нецелым действительным показателем, который меньше минус единицы.
- •Показательная функция.
- •Логарифмическая функция.
- •Тригонометрические функции, их свойства и графики.
- •Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.
- •8.Числовые последовательности.
- •Определение
- •Примеры
- •Операции над последовательностями
- •9.Предел числовой последовательности.
- •10.Предельный переход в неравенствах.
- •11.Предел функции в точке.
- •Левый и правый пределы функции
- •13.Предел функции при х→0
- •14.Бесконечно большая функция. Ответ - Бесконечно большая функция
- •15.Определение и основные свойства бесконечно малых функции.
- •16.Связь между функцией, пределом и бесконечно малой величиной.
- •17.Основные теоремы о пределах.
- •Предел монотонной функции
- •19.Первый замечательный предел.
- •Следствия из первого замечательного предела
- •20.Второй замечательный предел(б/д).
- •Следствия из второго замечательного предела
- •21.Сравнение бесконечно малых.
- •22. Основные теоремы о б.М.
- •23.Непрерывность функции в точке и на промежутке.
- •24.Точки разрыва функции и их классификация.
- •25.Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •26.Свойства функций, непрерывных на отрезке (б/д). Ответ - Свойства функций непрерывных на отрезке:
- •27.Производная; Ее геометрический и физический смысл.
- •28.Связь между непрерывность. И дифференцируемостью функции.
- •31.Производная обратной функции.
- •32.Производные основных элементарных функций; таблица производных (вывод).
- •33.Дифференцирование неявных функций.
- •34. Дифференцирование параметрический заданных функций.
- •35.Логарифмическое дифференцирование.
- •38.Основные теоремы о дифференциалах.
- •39.Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •40.Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы dy.
- •41.Теорема Ролля
- •54.Неопределенный интеграл: определение, геометрический смысл.
- •56. Основные свойства интеграла.
- •57. Таблица основных интегралов.
- •58.Интегрирование заменой переменной.
- •59.Интегрирование по частям
- •61.Основыне сведения о разложении многочленов
- •62.Теоремы о разложении рациональной дроби на сумму элементарных дробей
- •63.Основная тригонометрическая подстановка.
33.Дифференцирование неявных функций.
Ответ - Если независимая переменная и функциясвязаны уравнением вида, которое не разрешено относительно, то функцияназывается неявной функцией переменной.
Пример
Всякую явно заданную функцию можно записать в неявном виде. Обратно сделать не всегда возможно.
Несмотря на то, что уравнение не разрешимо относительно, оказывается возможным найти производную отпо. В этом случае необходимопродифференцировать обе части заданного уравнения, рассматривая функцию как функцию от, а затем из полученного уравнения найти производную.
34. Дифференцирование параметрический заданных функций.
Ответ - Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений
где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.
Найдем производную у'х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции
Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'х=y't•t'x. С учетом равенства (21.2) получаем
Полученная формула позволяет находить производную у'х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.
<< Пример 21.2
Пусть
Найти у'х.
Решение: Имеем x't=3t2, y't=2t. Следовательно, у'х=2t/t2, т. е.
В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х.
Действительно, ТогдаОтсюдат. е.
35.Логарифмическое дифференцирование.
Ответ - Суть метода логарифмического дифференцирования
Суть такого дифференцирования заключается в следующем: вначале находится логарифмзаданной функции, а уже затем вычисляется от него производная. Пусть задана некоторая функция. Прологарифмируем левую и правую части данного выражения:
Далее продифференцируем полученное равенство при условии, что является функцией от, то есть найдемпроизводную сложной функции:
А тогда, выражая искомую производную , в результате имеем:
Производная показательно-степенной функции
Рационально использовать логарифмическое дифференцирование и при нахождении производной показательно-степенной (или степенно-показательной) функцииили "функции в степени функция", то есть в случае, когда заданная функция имеет вид. Логарифмируем левую и правую часть:
далее по свойствам логарифма
Тогда
Производную в левой части равенства находим как производную сложной функции, а в правой - как производную произведения:
36.Производные высших порядков; производные высших порядков от параметрически заданных функции.
Ответ - Если функция имеет производную в каждой точке своей области определения, то ее производная есть функция от . Функция , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции (или второй производной) и обозначают символом . Таким образом
37.Понятие дифференциала функции. Геометрический смысл.
Ответ - Понятие дифференциала. Геометрический смысл. Если ф-ция y=f(x) имеет производную f`(x) в точке х, то произведение производной f`(x) на приращении Δх аргумента называется ДИФФЕРЕНЦИАЛОМ. Геометрический смысл: Дифференциал ф-ции f(х), соответствующий данным значениям х и Δх, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х. Если существует предельное положение секущей MP при стремлении точки N к точке M вдоль графика функции при D x->0), то это предельное положение называется касательной к графику функции f(x) в данной точке M этого графика.