- •Методические указания
- •Программа 1‑й части курса
- •Раздел I «Элементы теории вероятностей и математической статистики»
- •Введение
- •1.2 Непосредственный подсчёт вероятностей
- •1.3 Относительная частота. Теорема бернулли
- •1.4 Сумма событий. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий
- •1.5 Произведение событий. Теорема умножения
- •1.6 Теорема сложения для совместных событий
- •1.7 Многократные испытания. Формула бернулли
- •2 Случайные величины и законы распределения их вероятностей
- •2.1 Виды случайных величин
- •2.2 Формы задания закона распределения дискретных случайных величин
- •2.3 Формы задания закона распределения для непрерывных случайных величин
- •2.4 Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал
- •2.5 Числовые характеристики случайной величины. Математическое ожидание
- •2.6 Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение
- •3 Нормальный закон распределения
- •3.1 Нормальный закон и его основные параметры
- •3.2 Понятие о центральной предельной теореме
- •3.3 Вероятность попадания нормально распределённой случайной величины на заданный интервал
- •3.4 Интеграл вероятностей
- •3.5 Дополнительные характеристики разброса случайной величины
- •4 Элементы математической статистики
- •4.1 Основные задачи. Понятия
- •4.2 Числовые характеристики
- •4.3 Дополнительные характеристики: асимметрия и эксцесс
- •4.4 Определение закона распределения на основе опытных данных
- •4.5 Критерий согласия пирсона
- •4.6 Оценивание параметров
- •4.7 Доверительные интервалы и доверительная вероятность
- •5 Элементы корреляционного анализа
- •5.1 Понятие о статистических связях
- •5.2 Коэффициент корреляции
- •5.3 Уравнение регрессии
- •3. Составим уравнение регрессии на d:
1.2 Непосредственный подсчёт вероятностей
Существуют события, вероятности которых можно определить из условий самого опыта, не производя его. Для этого необходимо, чтобы элементарные события, составляющие полную группу, были попарно несовместными и равновозможными. Для таких событий возможен непосредственный подсчёт вероятностей, основанный на оценке доли "благоприятных" случаев.
Вероятность события вычисляют по формуле, называемой "формулой непосредственного подсчёта вероятностей"
. |
202\* MERGEFORMAT (.) |
где N — общее число случаев, М — число случаев, благоприятствующих появлению события А.
Формулу 02 называют также классическим определением вероятности.
Так, найдём вероятность события появления герба при одном бросании монеты:
.
Задача 1.1. В ящике находится 10 бракованных и 15 стандартных изделий. Найти вероятность того, что извлечённая наугад деталь будет стандартной.
Решение. Общее число случаев — ; число случаев, благоприятствующих появлению стандартной детали —. Искомая вероятность равна
.
1.3 Относительная частота. Теорема бернулли
Существуют события, как например, "попадание в цель при выстреле" или "выход из строя радиолампы в течение одного часа работы", вероятности которых не могут быть вычислены по формуле 02. Для таких событий используют другие способы определения вероятностей, например, способы, связанные с проведением опыта (эксперимента).
Относительной частотой события называют отношение числа появлений этого события к числу всех произведенных опытов:
. |
303\* MERGEFORMAT (.) |
При неограниченном увеличении числа опытов с вероятностью сколь угодно близкой к единице можно ожидать, что относительная частота события Q приближается к вероятности Р его появления в отдельном испытании.
Математическую формулировку этой закономерности ("устойчивости частоты") впервые дал Я. Бернулли в теореме, которая представляет собой простейшую форму Закона больших чисел и может быть записана в виде
. |
404\* MERGEFORMAT (.) |
Относительную частоту часто называют статистической вероятностью события.
Задача 1.2. По цели произведено 20 выстрелов, причём отмечено 18 попаданий. Найти относительную частоту попадания в цель.
Решение:
.
1.4 Сумма событий. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий
На практике обычно требуется определить вероятности событий, непосредственное воспроизведение которых невозможно. В этом случае применяют методы, позволяющие по известным вероятностям одних событий определять вероятности других, более сложных событий, с ними связанных. При решении таких задач используют основные теоремы теории вероятностей.
Суммой двух или нескольких событий называют сложное событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Для несовместных событий Аi условно пишут: , а также .
Теорема. Вероятность суммы двух или нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.
. |
505\* MERGEFORMAT (.) |
Следствие 1. Если события образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице:
. |
606\* MERGEFORMAT (.) |
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
. |
707\* MERGEFORMAT (.) |
Задача 1.3. В лотерее 1000 билетов, из них падает выигрышей: на один билет — 500 руб., на 10 билетов — по 100 руб., на 50 билетов — по 20 руб., на 100 билетов — по 5 руб. Остальные билеты — невыигрышные. При взятии случайным образом одного билета найти вероятности следующих событий:1) выиграть не менее 20 руб. и 2) выиграть любую сумму.
Решение. Обозначим события: В1 — выигрыш не менее 20 руб.; В2 — выигрыш любой суммы; А1 — выигрыш 20 руб.; А2 — выигрыш 100 руб.; А3 — выигрыш 500 руб.; А4 — выигрыш 5 руб. Согласно условию — ;. СобытияАi несовместны, поэтому применима теорема 05:
;
.